Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 10. DUALIDADE 102Demonstração. Suponha que P 1 tenha solução ótima x. Inserimos variáveis de folga no problemaprimal, obtendo o sistema Ax − I m x f = b, x ≥ 0, x f ≥ 0. Podemos supor neste casoque x seja solução básica viável associada a uma base B. Tomemos w = c B B −1 ∈ R m . Como xé ótimo, wN−c N ≤ 0, onde N é a submatriz de [ ]A −I m das colunas não básicas. TambémwB − c B = c B B −1 B − c B = 0, e logow [ A −I m]−[c 0]= w[B N]−[cB c N]≤ 0 ⇒ w[A −Im]≤[c 0].Com isso wA ≤ c e w ≥ 0, ou seja, w é viável para o dual D 1 . Por outro lado cx = c B B −1 b =wb, e do Corolário 10.3 segue que w é solução ótima de D 1 .O caso em que D 1 admite solução ótima recai no anterior transformando D 1 na forma deP 1 .Atividade 29. Enuncie e demonstre de forma análoga o Teorema da Dualidade Forte para aforma padrão.Os resultados enunciados até aqui são resumidos no Teorema a seguir, conhecido por Teoremada Dualidade ou Teorema Fundamental da Dualidade. Como qualquer PL pode sertransformado nas formas padrão ou canônica, ele será enunciado de forma geral.Teorema 10.6 (Teorema Fundamental da Dualidade). Sejam P um problema primal e D seudual. Exatamente uma das afirmações ocorre:(i) Ambos possuem solução ótima x ∗ e w ∗ com cx ∗ = w ∗ b.(ii) Um dos problemas é ilimitado. Neste caso o outro é inviável.(iii) Ambos os problemas são inviáveis.Teorema 10.7 (das Folgas Complementares). Se x ∗ e w ∗ são soluções ótimas de um problemaprimal P e seu dual D, respectivamente, então (c − w ∗ A)x ∗ = 0 e w ∗ (Ax ∗ − b) = 0.Demonstração. Pelo Teorema da Dualidade Forte, cx ∗ = w ∗ b. Da demonstração do Teoremada Dualidade Fraca, temos cx ∗ ≥ w ∗ Ax ∗ ≥ w ∗ b e logo cx ∗ = w ∗ Ax ∗ = w ∗ b, donde segue oresultado.As condições (c − w ∗ A)x ∗ = 0 e w ∗ (Ax ∗ − b) = 0 do Teorema 10.7 são chamadas folgascomplementares. Elas asseguram que quando x ∗ é não ativo em uma restrição primal, digamosa i x ∗ < b i , então a variável dual correspondente w ∗ i é zero. Da mesma forma, quando w ∗ é nãoativo em uma restrição dual, digamos w ∗ a j < c j , a variável primal correspondente x ∗ j é zero.Exemplo 10.2.2. [1] Considere o PLe seu dualmin 2x 1 +3x 2 +5x 3 +2x 4 +3x 5s.a. x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 +3x 5 ≥ 42x 1 −2x 2 +3x 3 +x 4 +x 5 ≥ 3x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0max 4w 1 +3w 2s.a. w 1 +2w 2 ≤ 2w 1 −2w 2 ≤ 32w 1 +3w 2 ≤ 5w 1 +w 2 ≤ 23w 1 +w 2 ≤ 3w 1 , w 2 ≥ 0