Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

Capítulo 7O Método Simplex7.1 Pontos extremos e otimalidadeConsidere o problemamin cx (7.1)s.a. Ax = bx ≥ 0Sejam x 1 , . . . , x k os pontos extremos do conjunto viável D e d 1 , . . . , d l as direções extremas(normalizadas) de D. Pelo Teorema da Representação (Teorema 6.6), o PL pode ser reescritoda seguinte forma:mins.a.k∑l∑(cx j )λ j + (cd j )µ jj=1k∑λ j = 1j=1j=1λ j ≥ 0, j = 1, . . . , kµ j ≥ 0, j = 1, . . . , l.Se D ≠ ∅ então as restrições de não negatividade garantem que existem pontos extremos,ou seja, k ≥ 1 (veja o Teorema da Representação). Observe que as variáveis µ j podem serarbitrariamente grandes, e logo a FO vai a −∞ se cd j < 0 para algum j = 1. . . . , l (fazemosµ j → ∞). Por outro lado, se cd j ≥ 0 para todo j = 1, . . . , l, então a fim de resolver o PL todosµ j são levados a zero. Agora, para minimizar ∑ kj=1 (cx j)λ j , basta encontrar um menor cx j ,digamos cx p , fazer λ p = 1 e λ j = 0 para todo j ≠ p. Ou seja, se o PL admite solução ótima,então uma delas é um dos vértices x 1 , . . . , x k .Resumindo, temos oTeorema 7.1. Considere o PL (7.1) onde o conjunto viável é não vazio com pontos extremosx 1 , . . . , x k e direções extremas d 1 , . . . , d l . Então(i) PL admite solução ótima se, e somente se, cd j ≥ 0 para todo j = 1, . . . , l;(ii) Se PL admite solução ótima, então uma se encontra num vértice do conjunto viável.Atividade 16. Mostre que se o PL (7.1) admite dois vértices x 1 e x 2 como soluções ótimas,então o segmento que liga esses vértices é formado somente de soluções ótimas. Retome a seção5.3 e dê uma explicação geométrica para o fato.53