Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 3. DETERMINANTES 203.1 Desenvolvimento de LaplaceDada uma matriz A = [a ij ] de ordem n, consideremos a matriz A ij de ordem n − 1 obtidade A pela retirada da linha i e da coluna j. Definimos o cofator de a ij como o número∆ ij = (−1) i+j det A ij .⎡1 2⎤−1Exemplo 3.1.1. Dada A = ⎣ 0 1 2 ⎦ temos3 −1 −2[ ]∆ 11 = (−1) 1+1 1 2det= 0,−1 −2[ ] 0 2∆ 12 = (−1) 1+2 det = 6,3 −2[ ] 0 1∆ 13 = (−1) 1+3 det = −3.3 −1Nesse contexto, temos oTeorema 3.2 (Desenvolvimento de Laplace). Dada uma matriz A de ordem n, escolhemosuma linha k de A. Entãodet A = a k1 ∆ k1 + a k2 ∆ k2 + · · · + a kn ∆ kn .Também, podemos escolher uma coluna k de A, e valedet A = a 1k ∆ 1k + a 2k ∆ 2k + · · · + a nk ∆ nk .Exemplo 3.1.2. No exemplo anterior, escolhendo a primeira linha de A temos det A = 1∆ 11 +2∆ 12 + (−1)∆ 13 = 0 + 12 + 3 = 15.Escolhendo a linha 2, temos det A = 0∆ 21 + 1∆ 22 + 2∆ 23 . Como[ ] 1 −1∆ 22 = (−1) 2+2 det = 1,3 −2[ ] 1 2∆ 23 = (−1) 2+3 det = 7,3 −1temos det A = 1 + 14 = 15.Escolhendo a coluna 1, det A = 1∆ 11 + 0∆ 21 + 3∆ 31 , com[ ] 2 −1∆ 31 = (−1) 3+1 det = 5,1 2e assim det A = 0 + 15 = 15.Exemplo 3.1.3. Vamos calcular det A onde A =⎡⎢⎣1 0 0 −10 2 1 21 0 3 42 0 1 −1⎤⎥⎦ . É interessante aplicar odesenvolvimento de Laplace sobre uma linha ou coluna com mais zeros. Escolhemos então alinha 1. Assim,det A = 1∆ 11 + 0∆ 12 + 0∆ 13 + (−1)∆ 14 = ∆ 11 − ∆ 14 .