Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 4. ESPAÇOS VETORIAIS 26Exemplo 4.2.4. Generalizando o exemplo anterior, valeu ∈ [v 1 , . . . , v n ] ⇔ [v 1 , . . . , v n , u] = [v 1 , . . . , v n ].Ou seja, vetores que são combinações lineares de outros não fazem diferença no subespaço queeles geram.Vamos mostrar tal afirmação. Se u ∈ [v 1 , . . . , v n ] então u = ∑ ni=1 a iv i para certos a 1 , . . . , a n ∈R. Assimn∑[v 1 , . . . , v n , u] = [v 1 , . . . , v n , a i v i ]i=1{( n∑)}= v ∈ V ; v = b 1 v 1 + · · · + b n v n + b a i v i , b 1 , . . . , b n , b ∈ Ri=1= {v ∈ V ; v = (b 1 + ba 1 )v 1 + · · · + (b n + ba n )v n , b 1 , . . . , b n , b ∈ R}= {v ∈ V ; v = c 1 v 1 + · · · + c n v n , c 1 , . . . , c n ∈ R}= [v 1 , . . . , v n ].Reciprocamente, u = 0v 1 + · · · + 0v n + 1u ∈ [v 1 , . . . , v n , u] = [v 1 , . . . , v n ], e logo u ∈[v 1 , . . . , v n ]. 4.3 Dependência e independência linearDefinição 4.4. Sejam V um espaço vetorial e v 1 , . . . , v n ∈ V . Dizemos que o conjunto{v 1 , . . . , v n } é linearmente independente (LI) ou que os vetores v 1 , . . . , v n são LI se a equaçãoa 1 v 1 + · · · + a n v n = 0admitir somente a solução trivial a 1 = a 2 = · · · = a n = 0. Se {v 1 , . . . , v n } não for LI, entãodizemos que este conjunto é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v 1 , . . . , v n sãoLD.Observamos que o subconjunto {0} de um espaço vetorial V qualquer não é LI, pois aequação da Definição 4.4 é satisfeita para todo a 1 ∈ R.Teorema 4.5. {v 1 , . . . , v n } é LD se, e somente se um dos vetores desse conjunto é combinaçãolinear dos outros.Exemplo 4.3.1. {e 1 ,e 2 , . . . , e n } ⊂ R n ondee i = (0, . . . , 0, }{{} 1 , 0, . . . , 0), i = 1, . . . , n,posição ié o vetor de R n constituído de zeros, exceto na posição i igual a 1, é um subconjunto LI.Exemplo 4.3.2. O subconjunto {(1, 2); (2, 2); (3, 7)} de R 2 é LD pois (3, 7) = 4(1, 2) − 1 (2, 2).24.4 Base e dimensão de um espaço vetorialDefinição 4.6. Dado um espaço vetorial V , um conjunto β = {v 1 , . . . , v n } ⊂ V é uma basede V se é LI e se gera V .