Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 51Como d ≥ 0 isso equivale à 1d = d 1 +· · ·+d n = 1. Assim, o conjunto das direções normalizadasde D éS = {d; d ≥ 0, Ad ≤ 0, 1d = 1}.Agora, afirmamos que as direções extremas (normalizadas) de D são exatamente os pontosextremos de S. De fato, se d = λ 1 d 1 + λ 2 d 2 , com λ 1 , λ 2 > 0 e d 1 , d 2 ∈ S distintos então1d = λ 1 1d 1 + λ 2 1d 2 ⇒ λ 1 + λ 2 = 1.Isso mostra que se d é ponto extremo de S então é direção extrema de D. A recíproca é feitade forma análoga, com os termos λ, 1 − λ > 0.Portanto, como S é poliedral, o Corolário 6.4 diz que as direções extremas normalizadas deD são em finito número.Naturalmente, tendo em vista o Teorema 6.3, um vértice do conjunto poliedralD = {x ∈ R n ; Ax ≤ b, x ≥ 0}é caracterizado pelas restrições ativas relativas à matriz[ A−I n](explique o porquê). Um vértice x ∈ R n tal que mais de n restrições são ativas é dito degenerado.Neste caso, mais de n hiperplanos passam por x, e logo pelo menos um deles pode ser descartadona descrição de x. É claro que quando um vértice é degenerado, podemos representá-lo porvários conjuntos de restrições ativas pois existem várias combinações de n restrições dentre asmais de n ativas. Essa situação é indesejada no sentido de que traz um problema ao métodoSimplex como veremos no Capítulo 8. Estudaremos uma modificação bem simples no Simplexoriginal que contorna esse problema (a Regra de Bland).Finalizamos este capítulo com o Teorema da Representação para conjuntos poliedrais. Eleserá usado para provar fatos importantes no desenvolvimento do Simplex. Para uma demonstração,consulte [1]. Alternativamente, você pode consultar o Teorema da Representação deMinkowski-Weyl, em [2].Teorema 6.6 (da Representação de Conjuntos Poliedrais). SejaD = {x ∈ R n ; Ax ≤ b, x ≥ 0}um conjunto poliedral não vazio. O conjunto dos vértices de D é não vazio e finito, digamos{x 1 , . . . , x k }. Também, o conjunto das direções de D é vazio se, e somente se, D é limitado.Se D não é limitado, então o conjunto das direções (normalizadas) de D é finito, digamos{d 1 , . . . , d l }. Mais ainda todo ponto de D é uma combinação convexa dos pontos extremos maisuma combinação não negativa das direções extremas (normalizadas) de D, ou seja, qualquerx ∈ D pode ser escrito comox =k∑λ j x j +j=1λ j ≥ 0,l∑µ j d jj=1k∑λ j = 1j=1j = 1, . . . , kµ j ≥ 0, j = 1, . . . , l.