Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 47Figura 6.3: Semi-espaçosNeste ponto podemos encarar o conjunto {x; Ax ≤ b, x ≥ 0} como a interseção dos semiespaços{x; a i x ≤ b i }, i = 1, . . . , m, e {x; e j x ≥ 0}, j = 1, . . . , n, onde a ′ is são as linhas de Ae e ′ js os canônicos de R n .Dado um conjunto convexo D, um vetor não nulo d é uma direção de recessão de D ousimplesmente direção de D se para cada x ∈ D, a semi-reta {x + λd, λ ≥ 0} está contida emD. Cabe notar que se D for limitado, não possui direções.Teorema 6.1.(i) d é direção de {x; Ax ≤ b, x ≥ 0} ̸= ∅ se, e somente se,d ≥ 0, d ≠ 0 e Ad ≤ 0.(ii) d é direção de {x; Ax = b, x ≥ 0} ̸= ∅ se, e somente se,d ≥ 0, d ≠ 0 e Ad = 0.Demonstração. Vamos mostrar o primeiro item, e deixamos o segundo para o leitor.d ≠ 0 é direção de D = {x; Ax = b, x ≥ 0} se, e somente se, A(x + λd) ≤ b e x + λd ≥ 0para todos λ ≥ 0 e x ∈ D, ou seja,Ax ≤ b − λAd, x ≥ −λd, ∀x ∈ D, ∀λ ≥ 0. (6.2)Se Ad ≤ 0 e d ≥ 0, então as condições (6.2) valem pois neste caso Ax ≤ b ≤ b − λAd ex ≥ 0 ≥ −λd para todos x ∈ D e λ ≥ 0, e d é direção de D. Reciprocamente, suponha queAd ≰ 0 ou d ≱ 0, e fixemos x 0 ∈ D. Se (Ad) i > 0 então existe um λ ≥ 0 suficientementegrande tal que (Ax 0 ) i > b i − λ(Ad) i . Da mesma forma, se d i < 0 então existe um λ ≥ 0suficientemente grande de forma que x 0 i < −λd i . Em ambos os casos, (6.2) garante que d nãoseria direção de D. Isso completa a demonstração.Observamos que ao considerar as direções de um conjunto D, podemos supor que todas elassão vetores normalizados, como observado na próxima Atividade.Atividade 10. Mostre que se d é direção de um conjunto D, então αd é também direção deD para qualquer α > 0. Faça o mesmo para direções extremas.Dois vetores d 1 e d 2 são distintos se d 1 não é múltiplo positivo de d 2 (e assim, vice-versa).Uma direção d de um conjunto convexo D é direção extrema se não pode ser escrita como umacombinação positiva de duas direções distintas em D. Ou seja, d é direção extrema de D senão existem λ 1 , λ 2 > 0 e direções distintas d 1 , d 2 de D tais que d = λ 1 d 1 + λ 2 d 2 .Um conjunto convexo C tal que λx ∈ C para todos x ∈ C e λ ≥ 0 é chamado cone convexoou simplesmente cone. Note que todo cone contém a origem, pois 0 = 0x ∈ C. Em particular,dados vetores a 1 , . . . , a k , podemos formar o cone{ k∑}cone {a 1 , . . . , a k } = λ j a j ; λ j ≥ 0, j = 1, . . . , k ,j=1