Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 49Figura 6.5: Função convexa (a); côncava (b); e nem convexa, nem côncava (c) [1]Atividade 14. Mostre que a função linear f(x) = cx é convexa e côncava simultaneamente.6.3 Conjuntos poliedraisConjuntos poliedrais são conjuntos definidos por finitas equações e/ou inequações lineares.Em outras palavras, são conjuntos formados pela interseção de finitos semi-espaços.Assim, os conjuntos de nosso interesse, como por exemplo{x; Ax ≤ b, x ≥ 0} e {x; Ax = b, x ≥ 0}são ditos poliedrais. É sabido que esses conjuntos são convexos (Exemplo 6.1.1, página 45). Nocaso de um conjunto poliedral ser limitado, é comum chamá-lo de politopo. Em particular, aosconjuntos que podem ser representados da forma{x; Ax ≤ 0}damos o nome de cone poliedral. É fácil notar que um cone poliedral é um cone. O Teorema aseguir não será demonstrado (para uma demonstração, veja por exemplo [2]).Teorema 6.2 (de Minkowski-Weyl). Um cone é poliedral se, e somente se, é finitamentegerado.Um ponto extremo de um conjunto poliedral é também chamado de vértice. A seguir,daremos uma caracterização algébrica dos vértices de um conjunto poliedral da forma{x; Ax ≤ b}.Note que, como qualquer conjunto poliedral pode ser posto na forma acima, o resultado éaplicado a qualquer conjunto poliedral.Antes, definimos a noção de restrição ativa. Diremos que uma restrição a i x ≤ b i é ativa emx 0 se ela é realizada como igualdade em x 0 , ou seja, sea i x 0 = b i .Do mesmo modo, a restrição será inativa em x 0 se a i x 0 < b i .