Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 1. MATRIZES 81.4 Exercícios1. Mostre que para qualquer matriz A (quadrada ou não), AA t e A t A são matrizes simétricas.2. Sejam A, B matrizes simétricas.(a) Mostre que A + B é simétrica.(b) Mostre que AB é simétrica se, e somente se, BA = AB.(c) Indicamos por X m o produto XX · · · X, onde X é multiplicada m vezes. Se p(X) =a k X k + a k−1 X k−1 + · · · + a 1 X + a 0 I n é um polinômio, onde X é uma matriz de ordemn, então p(A) é simétrica? Justifique.3. Seja A uma matriz de ordem n.(a) Mostre que se A k+1 = 0 para algum inteiro k ≥ 0, então (I−A) −1 = I+A+· · ·+A k .(b) Se A é inversível e AB = AC, mostre que B = C.(c) Dê um exemplo em que A é não nula e AB = AC, mas B ≠ C(e portanto você não pode “cortar” a matriz A como faz com números reais).4. Mostre que se A ou B não for inversível então AB também não é (ou equivalentemente,se AB for inversível então A e B também são).5. Seja A uma matriz inversível. Mostre que(a) (A t ) −1 = (A −1 ) t .(b) BA −1 = A −1 B se, e somente se, AB = BA.6. Seja A = [a ij ] uma matriz de ordem n. O traço de A, tr(A), é a soma de todos oselementos da diagonal principal, isto é, tr(A) = a 11 + a 22 + · · · + a nn . Mostre que(a) tr(αA) = αtr(A), onde α ∈ R.(b) tr(A + B) = tr(A) + tr(B).(c) tr(AB) = tr(BA).(d) tr(A t ) = tr(A).(e) tr(A t A) ≥ 0.7. Mostre que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que A k = 0 paraalgum inteiro k ≥ 1 e AB = BA, então (AB) k = 0.8. Diz-se que uma matriz quadrada A é nilpotente quando existe um inteiro k ≥ 1 tal queA k = 0. Mostre que qualquer matriz nilpotente não é inversível.9. Mostre que uma matriz diagonal A = [a ij ] de ordem n tal que a 11 a 22 · · · a nn ≠ 0 éinversível, e calcule sua inversa.10. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Mostre que se Ax = Bx para todas asmatrizes x de ordem n × 1, então A = B.11. Seja A = [ a 1 · · · a n]matriz m × n, cujas colunas são aj . Mostre queAx =n∑a j x j .j=1