Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 4. ESPAÇOS VETORIAIS 3012. Em R 2 , mantenhamos a definição usual do produto αv e modifiquemos, de 3 maneiras,a definição da soma u + v dos vetores u = (x, y) e v = (x ′ , y ′ ). Em cada tentativa, digaquais propriedades (axiomas) de espaço vetorial continuam válidas e quais são violadas:(a) u + v = (x + y ′ , x ′ + y)(b) u + v = (xx ′ , yy ′ )(c) u + v = (3x + 3x ′ , 5x + 5x ′ )13. Considere os subespaços W 1 , W 2 ∈ R 3 assim definidos: W 1 é o conjunto de todos osvetores v = (x, x, x) e W 2 é o conjunto de todos os vetores w = (x, y, 0). Mostre queR 3 = W 1 ⊕ W 2 .14. Mostre que para todo subespaço vetorial W de R n , existe um subespaço vetorial W 0 deR n tal que R n = W ⊕ W 0 .15. Dado o subespaço W = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x + 2y + z = 0} de R 3 , encontre um subespaçoW 0 de R 3 tal que R 3 = W ⊕ W 0 .16. (a) Se V = W 1 ⊕ W 2 , mostre que dim V = dim W 1 + dim W 2 .(b) Se dim V = dim W 1 + dim W 2 , podemos concluir que V = W 1 ⊕ W 2 ? Justifique.(c) Se W 1 e W 1 são subespaços de V , dim W 1 > dim V2W 1 ∩ W 2 ≠ {0}.e dim W 2 > dim V2(d) Se W 1 e W 2 são subespaços de V mostre que [W 1 ∪ W 2 ] = W 1 + W 2 .17. Exprima o vetor v = (1, −3, 10) na base β = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, −3, 5)}., mostre que18. Considere um subconjunto LD α = {v 1 , v 2 , . . . , v n } de R n com n vetores. Justifiqueporque o determinante da matriz cujas colunas são os vetores v 1 , v 2 , . . . , v n do conjuntoα é nulo.19. Mostre que, dado um subconjunto de R 3 α = {(a 11 , a 21 , a 31 ), (a 12 , a 22 , a 32 ), (a 13 , a 23 , a 33 )},temos que α é base de R 3 se, e somente se, det[a ij ] 3×3 ≠ 0. Tente generalizar o resultadopara R n .20. Considere o plano π : 2x − y + 3z = 0 que passa pela origem de R 3 e a reta r : (x, y, z) =(0, 0, 0) + t(1, 1, −3). Seja P e R os subespaços de R 3 correspondentes ao plano e à reta,respectivamente.(a) Encontre bases para P e R.(b) Mostre que R 3 = P ⊕ R.(c) Dê uma interpretação geométrica para as bases de P e R, considerando o seu conhecimentoem geometria analítica.21. Seja V = F 1 ⊕ F 2 = G 1 ⊕ G 2 um espaço vetorial. Mostre que se F 1 ⊂ G 1 e F 2 ⊂ G 2 entãoF 1 = G 1 e F 2 = G 2 .22. Diga se é verdadeiro ou falso quanto à validez da afirmação“A união de dois subconjuntos LI X e Y do espaço vetorial V é ainda um conjunto LI”provando quando verdadeiro ou fornecendo um contra-exemplo caso contrário.