Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 587.4 Melhorando uma solução básica viávelComo dito anteriormente, o método Simplex busca por soluções básicas viáveis ótimas.Assim, nosso interesse é obter uma solução básica viável melhor que uma corrente. Como cadasolução básica viável corresponde a uma base B, devemos obter uma outra base B ′ melhorque B. Ora, as matrizes básicas são formadas por colunas de A. Deste modo passaremos deuma base B para outra B ′ trocando uma de suas colunas por uma coluna não básica, de N.Devemos estabelecer então critérios para entrada e saída de variáveis da base.Suponhamos que temos uma solução básica [ B −1 b 0 ] t≥ 0 e consideremos o modelo PLanterior, escrito nas VNB’s. Como sabemos, a FO só pode ser melhorada se existir j tal quez j − c j > 0. A fim de diminuir ao máximo a FO, escolhemos o índice k com maior z k − c k . Esseserá o critério para entrada de uma variável na base, ou seja, escolhemos a variável não básicax k tal quez k − c k = max {z j − c j },j∈Re a aumentamos. As VNB’s restantes continuam iguais zero, e então o novo valor da FO seráTambém, de x B = b − ∑ j∈R y jx j = b − y k x k segue que⎡⎢⎣x B1x B2.x Br.x Bmz = z 0 − (z k − c k )x k . (7.2)⎤⎡=⎥⎦ ⎢⎣⎤b 1b 2.b r⎥. ⎦b m⎡−⎢⎣⎤y 1ky 2k.y rk⎥. ⎦y mkx k , (7.3)onde a componente i de y k é denotada por y ik . Vamos analisar o quanto podemos aumentar x kmantendo viabilidade, ou seja, x B ≥ 0. Se y ik ≤ 0 então x k ≥ 0 pode aumentar arbitrariamente.Agora, se y ik > 0, o valor máximo para x k de modo a manter x Bi ≥ 0 é b i /y ik (de fato,0 ≤ x Bi = b i − y ik x k ⇒ x k ≤ b i /y ik ). Assim, aumentamos x k a seu valor máximo permitido,x k = b { }rbi= min ; y ik > 0 . (7.4)y rk 1≤i≤m y ikObserve que x k ≥ 0, e na ausência de degeneração x k > 0, pois b r > 0 (lembre-se de que naausência de degeneração, b = B −1 b = x B > 0). Substituindo x k = b r /y rk na equação (7.3),obtemosx Bi = b i − y iky rkb r , ∀i = 1, . . . , m. (7.5)Assim x Br = 0 (verifique!). Escolhemos então a variável x Br para sair da base. Assim, escolhidox k para entrar, o critério para saída da base é a variável x Br tal que{ }b rbi= min ; y ik > 0y rk 1≤i≤m y ikse houver um y ik > 0 (o caso em que não houver será estudado adiante, e indicará que PL éilimitado).O processo acima passa da matriz básicaB = [ a B1 . . . a Br−1 a Br a Br+1 . . . a Bm]