Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

Capítulo 1MatrizesUma matriz A m×n de ordem m × n é uma tabela de números reais dispostos em m linhase n colunas⎡⎤a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2nA m×n = ⎢⎥⎣ . . · · · . ⎦ = [a ij] m×n.a m1 a m2 · · · a mnDuas matrizes A = [a ij ] m×ne B = [b ij ] r×ssão iguais se m = r, n = s e a ij = b ij para todosi = 1, · · · m e j = 1, · · · , n. Dada uma matriz A = [a ij ] m×n, dizemos que A é• quadrada se m = n. Neste caso, podemos dizer simplesmente que A tem ordem n.• matriz nula se a ij = 0 para todos i, j. Denotamos por 0 uma matriz nula.• matriz diagonal se A é quadrada e a ij = 0 sempre que i ≠ j. Os elementos a 11 , a 22 , · · · , a nnconstituem a diagonal principal de A. Em particular, a matriz diagonal I n de ordem ncuja diagonal principal é formada de 1’s é chamada matriz identidade.• matriz triangular superior se A é quadrada e a ij = 0 sempre que i > j.• matriz triangular inferior se A é quadrada e a ij = 0 sempre que i < j.• matriz simétrica se A é quadrada e a ij = a ji para todos i, j.1.1 Operações usuais com matrizesDadas A = [a ij ] m×ne B = [b ij ] m×nmatrizes de mesma ordem m × n e k ∈ R, definimos asoperações com matrizes:• a soma A + B é a matriz C = [c ij ] m×nde ordem m × n tal que c ij = a ij + b ij para todosi, j.• a multiplicação por escalar kA é a matriz C = [c ij ] m×nde ordem m × n tal que c ij = ka ijpara todos i, j.A transposta de uma matriz A = [a ij ] m×n é a matriz A t = [a ji ] n×m.Dadas matrizes A, B e C de ordem m × n e a, b ∈ R, vale:(i) A + B = B + A (comutatividade)(ii) A + (B + C) = (A + B) + C5