Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 59para a matrizB ′ = [ a B1 . . . a Br−1 a k a Br+1 . . . a Bm]Falta mostrar que realmente estamos passando para uma solução básica viável, ou seja, faltamostrar que B ′ é inversível e que [ B ′−1 b 0 ] t≥ 0. Ora,a k = By k =m∑a Bj y jk .j=1Daí∑λ j a Bj + λa k = 0j≠r⇒ ∑ λ j a Bj + λj≠rm∑a Bj y jk = 0j=1⇒ ∑ j≠r(λ j + λy jk )a Bj + λy rk a Br = 0⇒λ j + λy jk = 0, ∀j ≠ r, e λy rk = 0.A última implicação segue do fato das colunas de B serem LI. Como y rk > 0, temos λ = 0e consequentemente λ j = 0, ∀j ≠ r. Isso mostra que as colunas de B ′ são LI, e logo B ′ éinversível. Portanto realmente passamos a uma nova solução básica, definida por (7.4), (7.5) ex j = 0 para todo j ∈ R∪{B r }\{k}. A viabilidade dessa solução segue diretamente das relações(7.4) e (7.5).Como observado anteriormente, na ausência de degeneração a variável x k que entra nabase assume valor positivo. Como z k − c k > 0, segue de (7.2) que a FO efetivamente diminuiquando mudamos de base. Sendo o número de soluções básicas viáveis finito (Corolário 7.6),o procedimento de mudança de base descrito acima encontra uma solução básica viável ótima(isto é, uma solução ótima) em finitas aplicações. Quando há degeneração, pode acontecer demudarmos de base e o valor máximo permitido para x k ser zero, o que não muda a FO. Oprocedimento pode então ciclar, ou seja, entrar num laço infinito sem melhoria da FO. Veremosque esse problema é facilmente contornado (pela Regra de Bland).Exemplo 7.4.1. [1] Considere o PLmin x 1 +x 2s.a. x 1 +2x 2 ≤ 4x 2 ≤ 1x 1 , x 2 ≥ 0A fim de reescrever o PL na forma padrão, introduzimos variáveis de folga x 3 e x 4 :A matriz das restrições é entãomin x 1 +x 2 +0x 3 +0x 4s.a. x 1 +2x 2 +x 3 = 4x 2 +x 4 = 1x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0A = [ a 1 a 2 a 3 a 4]=[ 1 2 1 00 1 0 1].