Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 8. MÉTODO SIMPLEX: INICIALIZAÇÃO E CICLAGEM 79onde A é m × n com posto m. Podemos supor sem perda de generalidade que b ≥ 0 poispodemos manipular facilmente as restrições para que isso ocorra. O sistema Ax = b admitesolução se, e somente se, o sistema Ax + x a = b, x a = 0 admite solução, ou seja, o PL(7.1) é viável se, e somente se, pudermos ter x a = 0 e x ≥ 0. Agora observe que o últimosistema contém um bloco I m , relativo às variáveis artificiais x a . Procedemos então como segue.Primeiro acrescentamos variáveis artificiais de modo a obter o bloco identidade. A fim de testarse o PL (7.1) é viável devemos verificar se podemos ter x a = 0 e x ≥ 0, ou equivalentemente,se o PLmin 1x as.a. Ax + x a = bx ≥ 0x a ≥ 0onde 1 é vetor de uns, tem solução ótima com FO x 0 = 1 × 0 = 0. Note que este PL é viávelpois x = 0, x a = b ≥ 0 é uma solução sua. Mais ainda, este pode ser resolvido pelo Simplexinicializado pela base viável I m . Após resolvido, teremos uma base B formada por colunas damatriz [ ]A I m . Se na otimalidade deste PL temos a FO x0 = 0 e todas as variáveis artificiaisfora da base, então as variáveis artificiais x a serão VNB’s, enquanto as VB’s serão variáveislegítimas x B do PL original. Portanto a base viável final B é formada somente de colunas damatriz original A, e logo o Simplex para o PL original pode ser inicializado com esta base. Esteé o Método de Duas Fases.O esquema a seguir resume o Método de Duas Fases no caso discutido.1. (FASE I) Resolva o PLmin 1x as.a. Ax + x a = bx ≥ 0x a ≥ 0pelo Simplex, inicializado com a solução básica viável x = 0, x a = b (relativa à base I m ,formato pelas m últimas colunas de [ A I m]).Se na otimalidade x a ≠ 0, então pare com a conclusão de que o problema original éinviável. Caso contrário, a base viável corrente B é formada somente de colunas de A(assumimos por hora que todas as variáveis artificiais saem da base). Seja x B as VB’slegítimas relativas à base B e x N as VNB’s legítimas. Passe para o próximo passo.2. (FASE II) Resolva o PL original pelo Simplex inicializado com a solução básica viávelx B = B −1 b, x N = 0, ou seja, resolva o PLmin c B x B + c N x Ns.a. x B + B −1 Nx N = B −1 bx B , x N ≥ 0Atividade 22. Como já dito, o problema da Fase 1 do Método de Duas Fases é viável. Mostreque ele não é ilimitado, e por isso a Fase 1 é coerente.Pode ocorrer que na otimalidade do PL da Fase 1, tenhamos x a = 0 mas alguma variávelartificial x ai = 0 é VB. Por definição, isso significa que a solução ótima do PL da primeira faseé degenerada. Ora, neste caso a base da Fase 1 tem pelo menos uma coluna relativa à variávelartificial x ai , e não pode ser utilizada no PL original. Veremos adiante como proceder nessecaso.