Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 3. DETERMINANTES 19Para contar o número de inversões de uma permutação, pode-se proceder contando o númerode inversões de cada elemento seu, da esquerda para a direita. Por exemplo, na permutação(1 4 3 2), associado ao 1 temos 0 inversões; associado ao 4 temos 2 inversões; associado ao 3temos 1 inversões; e associado ao 2 temos 0 inversões, totalizando 3 inversões.Agora, definimos, associado à permutação ρ, o número{ 1 se ρ é parσ(ρ) =−1 se ρ é ímparFinalmente, definiremos o determinante da matriz A de ordem n como sendo o númerodet A = ∑ ρσ(ρ)a 1ρ(1) a 2ρ(2) · · · a nρ(n) ,onde a soma é sobre todas as permutações de 1, 2, . . . , n.Nesse estágio, é interessante voltar à definição do determinante de matrizes de ordem 2 e 3,e ver que a definição acima engloba as anteriores.Ordem 2: Abaixo, estão representadas todas as 2! = 2 permutações de 1, 2:permutação número de inversões paridade(1 2) 0 par(2 1) 1 ímparObserve que σ ((1 2)) = 1 e σ ((2 1)) = −1. Assim,[ ]a11 adet12= ∑ σ(ρ)aa 21 a 1ρ(1) a 2ρ(2) = 1a 11 a 22 + (−1)a 12 a 21 = a 11 a 22 − a 12 a 21 ,22ρo que coincide com a nossa definição anterior.Ordem 3: Abaixo, estão representadas todas as 3! = 6 permutações de 1, 2, 3:Assim,⎡det ⎣⎤a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦ = ∑a 31 a 32 a 33 ρpermutação número de inversões paridade σ(1 2 3) 0 par 1(1 3 2) 1 ímpar -1(2 1 3) 1 ímpar -1(2 3 1) 2 par 1(3 1 2) 2 par 1(3 2 1) 3 ímpar -1σ(ρ)a 1ρ(1) a 2ρ(2) a 3ρ(3)= 1a 11 a 22 a 33 + (−1)a 11 a 23 a 32 + (−1)a 12 a 21 a 33 + 1a 12 a 23 a 31 + 1a 13 a 21 a 32 + (−1)a 13 a 22 a 31= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 ,o que coincide com a nossa definição anterior.Exemplo 3.0.1. Vamos mostrar que det I n = 1. De fato, todos os produtos em det I n tem umelemento zero, exceto aquele referente aos elementos da diagonal. Daídet I n = ∑ ρσ(ρ)a 1ρ(1) · · · a nρ(n) = a 11 · · · a nn = 1 · · · 1 = 1.