Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 46• {x; Ax ≤ b, x ≥ 0}, onde A é m × n.• a reta que passa por a ∈ R n na direção de v, {x; x = a + λv, λ ≥ 0}.• {x; x = ∑ mi=1 λ iv i , λ i ≥ 0, ∀i}.Atividade 8. Mostre que os conjuntos do exemplo anterior são convexos.Dado um conjunto convexo D, x ∈ D é dito ponto extremo de D se não pode ser representadopor uma combinação convexa de dois pontos distintos de x em D, isto é, não existem x 1 , x 2 ∈D\{x} e λ ∈ (0, 1) tais que x = λx 1 + (1 − λ)x 2 .Figura 6.2: Pontos extremosUm subconjunto de R n da forma{H = {x; px = k} = (x 1 , . . . , x n );}n∑p i x i = ki=1(6.1)onde p ≠ 0 e k ∈ R, é chamado hiperplano. Note que se n = 2, H é uma reta em R 2 , e sen = 3, um plano em R 3 .Atividade 9. Mostre que qualquer hiperplano é conjunto convexo.Dado um hiperplano H como em (6.1), dizemos que o vetor p é normal a H, ou o gradientede H. Geometricamente, tomemos x 0 ∈ H. Temos px 0 = k, e logo para qualquer x ∈ H, segueque px = px 0 , ou seja,p(x − x 0 ) = 0.Assim, p é ortogonal à x − x 0 para qualquer x ∈ H (ortogonal em relação ao produto internocanônico em R n ).Um hiperplano H divide R n em duas regiões: H 1 = {x; px ≤ k} e H 2 = {x; px ≥ k}. Aessas regiões damos o nome de semi-espaços. Podemos ainda escrevê-los comoH 1 = {x; p(x − x 0 ) ≤ 0} e H 2 = {x; p(x − x 0 ) ≥ 0},ou seja, H 1 consiste nos pontos x tais que x − x 0 forma um ângulo ≥ 90 0 com p, os pontosque estão no semi-espaço oposto ao que p aponta, e H 2 nos pontos x tais que x − x 0 forma umângulo ≤ 90 0 com p, os pontos que estão no semi-espaço que p aponta.