Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 54Atividade 17. Generalizando a atividade anterior, mostre que se x 1 , . . . , x d são soluções ótimasdo PL (7.1), então qualquer combinação convexa desses pontos é solução ótima.Atividade 18. Mostre que se o PL (7.1) admite o vértice x j como solução ótima e d i fordireção tal que cd i = 0, então a semi-reta emanando de x j na direção de d i é formada desoluções ótimas.Exemplo 7.1.1. [1] Considere o conjunto definido por−x 1 +x 2 ≤ 2−x 1 +2x 2 ≤ 6x 1 , x 2 ≥ 0Figura 7.1: Geometria do exemploOs pontos extremos são x 1 = (0, 0), x 2 = (0, 2) e x 3 = (2, 4), e as direções extremas,d 1 = (1, 0) e d 2 = (2, 1). Suponha que estamos minimizando x 1 − 3x 2 sobre este conjunto. AFigura 7.1(a) indica que assim o PL é ilimitado. Observe que cd 2 = −1 < 0, o que confirma ofato.Suponha agora que a função a ser minimizada seja 4x 1 − x 2 . Neste caso, temos cx 1 = 0,cx 2 = −2, cx 3 = 4, cd 1 = 4 e cd 2 = 7. Assim, O PL tem solução ótima e pode ser escritocomomin 0λ 1 − 2λ 2 + 4λ 3 + 4µ 1 + 7µ 23∑s.a. λ j = 1j=1λ j ≥ 0, j = 1, . . . , 3µ j ≥ 0, j = 1, . . . , 2.A solução para este problema é fazer µ j = 0, j = 1, 2, λ 2 = 1 e λ j = 0, j = 1, 3. Com isso, ovértice x 2 = (0, 2) é solução ótima (veja a Figura 7.1(b)).7.2 Soluções básicas viáveisDaremos agora uma descrição adequada para pontos extremos.Definição 7.2. Considere o sistema Ax = b, x ≥ 0, onde A é m × n (m ≤ n). Suponha queo posto de A seja m. Rearranjando se necessário as colunas de A, escrevemos A = [ B N ]onde B é matriz de ordem m inversível e N é m × (n − m). Uma solução[ ] [ ]xB Bx = =−1 bx N 0