Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

Capítulo 3DeterminantesDada uma matriz A = [a ij ] quadrada de ordem ≤ 3, associamos um número real det A,chamado determinante de A, definido como segue:Matrizes de ordem 1: À matriz A = [a 11], definimos det A = a 11 .[ ]Matrizes de ordem 2: À matriz A = a11 a 12, definimos det A = aa 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 .22⎡Matrizes de ordem 3: À matriz A = ⎣⎤a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23⎦, definimosa 31 a 32 a 33det A = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 .A fim de definir o determinante de uma matriz de ordem n qualquer (n ≥ 1), vamos estudaralguns conceitos necessários. É claro que nossa definição para o caso geral deve englobar os trêscasos vistos anteriormente. De antemão, perceba que na definição do determinante de matrizesde ordem 2 e 3 ocorre uma certa regularidade: em cada produto de elementos da matriz, ostermos das linhas aparecem ordenados, enquanto os termos das colunas não. Observe aindaque nos índices das colunas, todas as ordens possíveis dos números 1, 2, 3 (ou 1, 2 no caso deordem 2) aparecem. O que não é muito visível (por enquanto) é como o sinal de cada produtoé atribuído. O que faremos no caso geral é “estender” essa regularidade. Portanto, tenha osdeterminantes anteriores em mente.Uma permutação dos números 1, 2, . . . , n é uma bijeção ρ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.Neste caso, denotaremos a permutação ρ pela lista de suas imagens (ρ(1) ρ(2) · · · ρ(n)). Porexemplo, (3 2 1), (1 2 3) e (2 1 3) são permutações de 1, 2, 3. O número de permutações de1, 2, . . . , n é n! = n(n − 1) · · · 2 · 1 (n ≥ 1).Definição 3.1. Dada uma permutação ρ de 1, 2, . . . , n, existe uma inversão quando um inteiroprecede outro menor que ele.Diremos que uma permutação ρ é par se o número de inversões em ρ é par, e que ρ é ímparse esse número for ímpar.Por exemplo, abaixo estão representadas algumas das 4! = 24 permutações de 1, 2, 3, 4, como número de inversões e sua paridade.permutação número de inversões paridade(1 2 3 4) 0 par(3 2 1 4) 3 ímpar(4 3 1 2) 5 ímpar(1 4 3 2) 3 ímpar(1 4 2 3) 2 par18