ProgramaÃ§Ëao Linear - Notas de aula - CEUNES

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SumárioI Revisão 41 Matrizes 51.1 Operações usuais com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Matrizes inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Notação em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sistemas Lineares 102.1 Operações e matrizes elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Resolução de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Um processo para inversão de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Operações elementares sobre colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Determinantes 183.1 Desenvolvimento de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Espaços Vetoriais 244.1 Subespaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Base e dimensão de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Produto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II Programação Linear 335 Introdução 345.1 Manipulação de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.1 Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.2 Restrições de não negatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.3 Problema de maximização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.4 Formas padrão e canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Exemplos de modelos em programação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Resolução geométrica de problemas de programação linear . . . . . . . . . . . . 425.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
SUMÁRIO 26 Elementos de Análise Convexa 456.1 Conjuntos convexos, pontos extremos, semi-espaços e direções . . . . . . . . . . 456.2 Funções convexas e côncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3 Conjuntos poliedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 O Método Simplex 537.1 Pontos extremos e otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Soluções básicas viáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3 Critério de otimalidade para soluções básicas viáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 567.4 Melhorando uma solução básica viável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.5 Otimalidade e ilimitabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.6 O método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.7 O método Simplex em formato de Quadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.9 Uma implementação básica do Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.9.1 Preâmbulo do código . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.9.2 A função principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.9.3 Entrada/saída de variáveis e processo de pivoteamento . . . . . . . . . . 747.9.4 Impressão do QS na tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.9.5 Funções auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 Método Simplex: inicialização e ciclagem 788.1 Método de Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.1.1 Organizando as Fases I e II no mesmo quadro . . . . . . . . . . . . . . . 828.2 Degeneração: ciclagem no Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2.1 Regra de Bland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3 Degeneração: Método de Duas Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.5 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919 O Simplex Revisado 929.1 Comparação entre o Simplex e o Simplex Revisado . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2 Outras observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610 Dualidade 9810.1 O dual de um problema de programação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.2 Relações entre os problemas primal e dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.3 Condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) . . . . . . . . . . . . 10310.3.1 Condições KKT para restrições de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . 10310.3.2 Condições KKT para restrições de igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.3.3 Interpretação geométrica das condições KKT . . . . . . . . . . . . . . . . 10410.4 O Simplex Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.4.1 Interpretação da viabilidade dual no quadro simplex primal . . . . . . . . 10610.4.2 O método Simplex Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
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Referências Bibliográficas[1] Mok
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