Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 2. SISTEMAS LINEARES 13Teorema 2.6. Seja e uma operação elementar e E = e(I m ) a matriz elementar correspondente.Então para toda matriz A de ordem m × n temose(A) = EA.Demonstração. Deixamos a prova do resultado para as operações L i ↔ L j e L i → kL i para oleitor. Seja e a operação L i → L i + kL j (i ≠ j). Sem perda de generalidade, vamos supor quei = 1 e j = 2. Assim⎡⎤ ⎡1 k 0 · · · 00 1 0 · · · 0EA = ⎢⎥ ⎢⎣ . . . · · · . ⎦ ⎣0 0 0 · · · 1⎡= ⎢⎣⎤a 11 a 12 a 13 · · · a 1na 21 a 22 a 23 · · · a 2n⎥. . . · · · . ⎦a m1 a m2 a m3 · · · a mn⎤a 11 + ka 21 a 12 + ka 22 a 13 + ka 23 · · · a 1n + ka 2na 21 a 22 a 23 · · · a 2n⎥. . . · · · .a m1 a m2 a m3 · · · a mn⎦ = e(A).Atividade 2. Complete a prova do teorema anterior.Em outras palavras, o Teorema 2.6 diz que aplicar uma operação elementar em A é o mesmoque multiplicar A a esquerda pela matriz elementar correspondente.Cada matriz elementar é inversível, e sua inversa é a matriz elementar correspondente àoperação que desfaz a original:• a operação L i → 1L k i desfaz a operação L i → kL i . Assim por exemplo, se E =[ ] 1 0então E −1 =(verifique este fato constatando que EE0 1/k−1 = I 2 ).[ 1 00 k• a[operação]L i → L j desfaz a própria operação L i → L j . Assim por exemplo, se E =0 1então E1 0−1 = E (verifique!).• a operação[L] i → L i − kL j [desfaz a]operação L i → L i + kL j . Assim por exemplo, se1 0E = então E2 1−1 1 0=(verifique!).−2 1Uma consequência imediata do Teorema 2.6 é a seguinte:Corolário 2.7. Sejam A e B matrizes de mesma ordem. Então B é linha equivalente a A se,e somente se B = E k E k−1 · · · E 2 E 1 A para certas matrizes elementares E 1 , . . . , E k .[ ] [ ]1 2 9 18Exemplo 2.1.5. Mostre que são linha equivalentes as matrizes A = e B = .3 6 6 12Vamos calcular a MLRFE de A:[ ] [ ][ ]1 2 L 2 →1/3L 2 1 2 LA = −−−−−−→2 →L 2 −L 1 1 2−−−−−−→ C = .3 61 20 0[ ] [ ]1 01 0Observe que, sendo E 1 =e E0 1/3 2 =as matrizes elementares correspondentesàs operações realizadas, temos−1 1C = E 2 E 1 A.]