Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 61• x ′ = B ′−1 b;• x ′ é viável;• Em x ′ , o valor da FO é realmente 1.Atividade 21. No exemplo anterior, faça mais uma mudança de base, a partir de B ′ . Concluaà luz do Teorema 7.7 que a origem é solução ótima.7.5 Otimalidade e ilimitabilidadeComo vimos, os critérios para entrada e saída de variáveis da base são os seguintes:• Entrada: x k entra na base se0 < z k − c k = maxj∈R {z j − c j };• Saída: x Brsai se{ }b rbi= min ; y ik > 0 .y rk 1≤i≤m y ikVimos que quando não há candidatos a entrar na base, ou seja, quando max j∈R {z k −c k } ≤ 0, asolução básica viável corrente é ótima (Teorema 7.7). Também, quando há candidato a entrare sair da base, a mudança de base é realizada. Agora considere o caso em que há um candidatoa entrar, digamos x k , mas não há candidatos a sair, ou seja,Da equação (7.3), temosy k ≤ 0.x B = B −1 b − y k x k .Como y k ≤ 0 e B −1 b ≥ 0, para qualquer valor x k > 0 teremos x B ≥ 0. Ou seja, podemoslevar x k a ∞ mantendo viabilidade, e daí teremosz = z 0 − (z k − c k )x k → −∞pois z k − c k > 0. Assim, o problema é ilimitado.Uma forma mais elegante de ver este fato é como segue. A VNB x k é possivelmente incrementada,e as outras VNB’s permanecem zero. Então x N = e k x k , onde e k é o k-ésimo canônicode R n−m . Da equação (7.3) segue então quex =[xB]=x N[ B −1 b0] [ −yk+e k]x k , x k ≥ 0. (7.6)Isso corresponde à semi-reta emanando da solução básica viável [ B −1 b[ ] −ykd = ≠ 0.e k0 ] tna direçãoObserve que d ≥ 0 (pois y k ≤ 0), e queAd = [ BN ] [ −y ke k]= −By k + Ne k = −BB −1 a k + a k = 0