Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 8. MÉTODO SIMPLEX: INICIALIZAÇÃO E CICLAGEM 88A atualização da base B = [ a 1 . . . a r . . .] [a m para a base B = a1 . . . a k . . .]a mcorresponde a fazerB = BEonde E é a matriz inversível obtida da identidade I m trocando a coluna r por y k , isto é,⎡⎤1 0 . . . y 1k . . . 0E = [ 0 1 . . . y 2k . . . 0] . . . .e 1 . . . e r−1 y k e r+1 . . . e m = ,0 0 . . . y rk . . . 0⎢⎥⎣ . . . . ⎦0 0 . . . y mk . . . 1poisBE = [ Be 1 . . . Be r−1 BB −1 a k Be r+1 . . . Be m]=[a1 . . . a k . . . a m].Logo B −1 = E −1 B −1 . Você pode verificar que⎡⎤1 0 . . . −y 1k /y rk . . . 00 1 . . . −y 2k /y rk . . . 0E −1 . . . .=.0 0 . . . 1/y rk . . . 0⎢⎥⎣ . . . . ⎦0 0 . . . −y mk /y rk . . . 1Observe do Quadro 7.2 (página 66) que após o processo de pivoteamento do QS 1 sobre o pivôy rk obtemos exatamente o bloco E −1 abaixo de x B . Também verifica-se B −1 a k = E −1 B −1 a k =e k , ou seja, a coluna da nova VB x k é a coluna k da identidade. Logo, após pivotearmos QS 1sobre o pivô y rk , obtemos o QSz x B x N RHSz 1 . . . . . . . . .x B 0 E −1 B −1 N B −1 bO sistema associado a este QS é[E −1B −1 N] [ ]x B= B −1 b ⇔ [ Ex −1 (E −1 B −1 )N ] [ ]x B= (E −1 B −1 )bN x Nque é equivalente ao sistema associado ao QS 1 pois consiste na multiplicação à esquerda pelamatriz inversível E −1 . Isso conclui a demonstração.Na discussão do Método de Duas Fases, assumimos que ao fim da Fase 1 todas as variáveisartificiais saem da base. Discutiremos agora o caso em que no término da Fase 1 tivermosx 0 = 0, ou seja, o PL original é viável, mas alguma variável artificial permanece na base. Esseé precisamente o caso em que o problema da Fase 1 é degenerado. Não podemos passar para