ProgramaÃ§Ëao Linear - Notas de aula - CEUNES

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CAPÍTULO 11. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 119Diante do exposto, quando adicionamos a linha relativa à terceira equação em (11.3) e acoluna correspondente à VB x n+1 ao QS, obtemos o quadro simplex associado à base B ′ . O QSalterado é entãoz x B x N x n+1 RHSz 1 0 c B B −1 N − c N 0 c B B −1 bx B 0 I B −1 N 0 B −1 bx n+1 0 0 a m+1N− a m+1B B−1 N 1 b m+1 − a m+1BB−1 bNote que z j − c j ≤ 0 para todo j e logo a viabilidade dual é mantida. Podemos no entantoperder viabilidade primal se b m+1 − a m+1BB−1 b < 0. Neste caso, o Simplex Dual é aplicado comx n+1 saindo da base.Agora, se a restrição adicionada for de igualdade, digamos a m+1 x = b m+1 , então consideramosa variável artificial x n+1 ≥ 0 e adicionamos a restrição a m+1 x + x n+1 = b m+1 comoanteriormente. Daí aplicamos o Método de Duas Fases para eliminar x n+1 do problema.Exemplo 11.1.5. [1] Considere o PL do Exemplo 11.1.1cujo QS ótimo éQS 0:min −2x 1 +x 2 −x 3s.a. x 1 +x 2 +x 3 ≤ 6−x 1 +2x 2 ≤ 4x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 0 −3 −1 −2 0 −12x 1 0 1 1 1 1 0 6x 5 0 0 3 1 1 1 10Adicionemos a restrição x 1 − 2x 3 ≤ −2. A solução ótima antiga (x 1 , x 2 , x 3 ) = (6, 0, 0) nãosatisfaz essa inequação. Teremos portanto um QS primal inviável após a inserção.Reescrevemos a restrição como x 1 − 2x 3 + x 6 = −2, onde x 6 ≥ 0 é variável de folga. Asvariáveis básicas do problema original são x 1 e x 5 . Particionamos então a 3 = (1, 0, −2, 0, 0) ema 3 B = (a3 1, a 3 5) = (1, 0) e a 3 N = (a3 2, a 3 3, a 3 4) = (0, −2, 0). Como[ ] 1 0B −1 =1 1temosa 3 N − a 3 BB −1 N = [ 0 −2 0 ] − [ 1 0 ] [ 1 01 1] [ 1 1 12 0 0]= [ −1 −3 −1 ] .Tambémb 3 − a 3 BB −1 b = −2 − [ 1 0 ] [ 610]= −8.
CAPÍTULO 11. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 120O QS alterado será entãoz x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHSz 1 0 −3 −1 −2 0 0 −12x 1 0 1 1 1 1 0 0 6x 5 0 0 3 1 1 1 0 10x 6 0 0 −1 −3 −1 0 1 −8O QS não é primal viável. Prosseguimos com o Simplex Dual pivoteando sobre y 33 = −3.Geometricamente, ao adicionarmos uma restrição de desigualdade estamos intersectando oconjunto viável com um semi-espaço. Desta forma, se a solução ótima do PL antes da adiçãoda restrição não satisfazer a nova restrição, ela será descartada no novo PL. Exatamente nestecaso é que temos inviabilidade primal, ou seja, b m+1 − a m+1BB−1 b < 0. Note que o conjuntoviável efetivamente será “cortado”. A Figura a seguir ilustra os casos em que a solução ótimasatisfaz e não satisfaz a nova restrição.Figura 11.1: Adição de nova restrição [1]A adição de restrições aplica-se à resolução de problemas de programação inteira, problemasde programação linear a variáveis inteiras. Não discutiremos em detalhes, mas a ideia do métododos planos de corte é exemplificada a seguir.Exemplo 11.1.6. [1](CORTES DE GOMORY, MÉTODO DOS PLANOS DE CORTE)Considere o problema de programação inteiraPI: min cxs.a. Ax = bx ≥ 0x ∈ Z n .Descartando as restrições de integralidade (x ∈ Z n ), obtemos o PLPL: min cxs.a. Ax = bx ≥ 0.Os seguintes fatos são claros:
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SUMÁRIO 26 Elementos de Análise C
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