Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO 425.3 Resolução geométrica de problemas de programaçãolinearPara problemas pequenos com 2 ou 3 variáveis de decisão, há uma maneira de resolvê-losgeometricamente. Embora não seja efetivo resolver problemas grandes, as ideias geométricasauxiliam no entendimento do problema.Consideraremos aqui problemas do tipomin cxs.a. Ax ≤ bcom duas variáveis. Começamos com o problemax ≥ 0min −x 1 −3x 2s.a. x 1 +x 2 ≤ 6−x 1 +2x 2 ≤ 8x 1 , x 2 ≥ 0Cada inequação define um semiplano. Para saber que região uma inequação define, considerepor exemplo a inequação −x 1 + 2x 2 ≤ 8. Observe que, por exemplo, a origem satisfaz ainequação, e logo o semiplano que ela descreve está abaixo da reta −x 1 + 2x 2 = 8. Alternativamente,podemos verificar que o gradiente da função −x 1 + 2x 2 , o vetor (−1, 2), aponta parafora do semiplano que a inequação do tipo ≤ define (se fosse ≥ apontaria para dentro). Asinterseções desses semiplanos definem a região viável do problema, ilustrada na figura 5.3.Figura 5.3: Solução geométrica [1]Observe agora que a fim de minimizar a função cx = −x 1 − 3x 2 sobre o conjunto viável,devemos estabelecer seu menor nível z = −x 1 − 3x 2 cuja curva de nível tenha interseção com oconjunto viável. É sabido que os níveis de cx decrescem no sentido contrário ao seu gradiente