Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 11. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 124Assim, o valor máximo de λ para B permanecer ótima éˆλ = − z {k − c kzk ′ − = minc′ k− z j − c jz j ′ − ; j ∈ Sc′ j}. (11.7)Observe que ˆλ ≥ 0 pois z j − c j ≤ 0 para todo j.Essa análise pode ser usada de forma sequencial, como segue. Suponha que B 1 seja baseótima. Perturbemos o vetor c na direção de c ′ e seja λ 1 = ˆλ. Para λ ∈ [0, λ 1 ], a linha de z doQS terá coeficientes atualizados para (z j − c j ) + λ(z j ′ − c ′ j). Assim, em λ = λ 1 o termo de x k nalinha de z será 0. Introduzimos na base então a VNB x k . Como as novas VNB’s valem zero,da equação (11.6) o novo valor de z é c B b + λc ′ Bb. Após atualizar o QS, o processo é repetidorecalculando S e ˆλ, e tomando λ 2 = ˆλ. Daí a base corrente (após atualização do QS) é ótimapara λ ∈ [λ 1 , λ 2 ]. O processo é repetido até que S seja conjunto vazio.Exemplo 11.2.1. [1] Considere o PLmin −x 1 −3x 2s.a. x 1 +x 2 ≤ 6−x 1 +2x 2 ≤ 6x 1 , x 2 ≥ 0Suponha que o vetor de custos c = (−1, −3) seja alterado para (−1, −3) + λ(2, 1), comλ ≥ 0. Nosso interesse é resolver essa classe de problemas parametrizados por λ ≥ 0. Primeiroresolvemos o PL original (com λ = 0). Sendo x 3 e x 4 variáveis de folga, o QS ótimo éz x 1 x 2 x 3 x 4 RHSz 1 0 0 −5/3 −2/3 −14x 1 0 1 0 2/3 −1/3 2x 2 0 0 1 1/3 1/3 4A fim de encontrar o intervalo para λ em que a base do QS acima permanece ótima, calculamos[ ] [ ]c ′ BB −1 N − c ′ N = c ′ B y3 y 4 − c′3 c ′ 4= [ 2 1 ] [ ]2/3 −1/3− [ 0 0 ] = [ 5/3 −1/3 ] .1/3 1/3Assim, S = {3} e da equação (11.7) temosˆλ = − z 3 − c 3z ′ 3 − c ′ 3= − −5/35/3 = 1.Portanto λ 1 = 1 e para λ ∈ [0, 1] a base [ ]a 1 a 2 permanece ótima. A FO em termos de λ édada porz(λ) = c B b + λc ′ Bb = −14 + λ [ 2 1 ] [ ]2= −14 + 8λ.4Os coeficientes de x 3 e x 4 da linha de z serão, respectivamente,Logo o QS ótimo para λ ∈ [0, 1] é(z 3 − c 3 ) + λ(z ′ 3 − c ′ 3) = −5/3 + 5/3λ,(z 4 − c 4 ) + λ(z ′ 4 − c ′ 4) = −2/3 − 1/3λ.