Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 1. MATRIZES 6(iii) a(bA) = (ab)A(iv) A + 0 m×n = A.(v) a(A + B) = aA + aB(vi) (a + b)A = aA + bA(vii) 0A = 0 m×n (a multiplicação da matriz A pelo escalar 0 é matriz nula)(viii) A é simétrica se, e somente se A t = A.(ix) (A t ) t = A.(x) (A + B) t = A t + B t .(xi) (aA) t = aA t .Agora, dadas A = [a ij ] m×pe B = [b ij ] p×ndefinimos a multiplicação AB de matrizes comoa matriz C = [c ij ] m×ntal quec ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + · · · + a ip b pj =p∑a ik b kj .k=1Exemplo 1.1.1.[A =1 2 3−1 0 2⎡], B = ⎣2×31 0 −1 42 2 1 00 1 0 −1⎤⎦3×4[⇒ AB =5 7 1 1−1 1 1 −5].2×4Exemplo 1.1.2.[ 1 −1A =1 −1] [ 1 −1, B =1 −1]⇒ AB =[ 0 00 0] [ 3 −3, BA =3 −3Isso mostra que em geral AB ≠ BA. Também, observe que mesmo sendo A ≠ 0 e B ≠ 0,podemos ter AB = 0.Sejam A, B e C matrizes. Desde que as operações sejam possíveis, vale:(i) AI = IA = A(ii) A(B + C) = AB + AC (distributividade)(iii) (A + B)C = AC + BC (distributividade)(iv) (AB)C = A(BC) (associatividade)(v) (AB) t = B t A t(vi) A0 = 0].