Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 3. DETERMINANTES 223.3 Exercícios[ ] [ ]1 23 −11. Dadas A = e B = , calcule det A + det B e det(A + B), e conclua1 00 1que, em geral, o determinante da soma de matrizes não é igual a soma dos determinantes.2. Calcule o posto e a nulidade das matrizes abaixo, encontrando a matriz linha reduzida àforma escada de cada matriz. Use o histórico de operações elementares para calcular odeterminante de cada uma das matrizes.(a)⎡⎣1 −2 32 2 12 −4 6⎤⎦(b)⎡⎢⎣1 2 1 2−1 1 1 11 0 1 03 1 −1 3⎤⎥⎦3. Admitindo que det A = 5 onde A = [a ij ] 3×3 , calcule:(a) det(3A)(c) det((2A) −1 )(b) det(2A −1 )⎡(d) det ⎣⎤a 11 a 31 a 21a 12 a 32 a 22⎦a 13 a 33 a 234. Calcule os determinantes:[ ]a + b b + d(a) deta + c c + d[ ]a + b a − b(b) deta − b a + b[ x − 1 1(c) detx 3 x 2 + x + 1⎡⎤1 1 1(d) det ⎣ −1 0 1 ⎦−1 −1 0⎡ ⎤1 1 1(e) det ⎣ 1 2 3 ⎦1 3 6]⎡(f) det ⎢⎣⎡(g) det ⎢⎣⎡(h) det ⎢⎣3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3⎤⎥⎦1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20⎤⎥⎦1 2 3 4−2 1 −4 33 −4 −1 24 3 −2 −1⎡(i) det⎢⎣⎡(j) det⎤ ⎢⎣⎥⎦2 1 1 1 11 3 1 1 11 1 4 1 11 1 1 5 11 1 1 1 6⎤⎥⎦2 1 1 1 12 2 4 −1 32 1 2 13 72 1 1 2 92 1 1 1 2(use o próximo exercíciono item j)⎤⎥⎦5. Seja A uma matriz triangular superior de ordem n. Aplique sucessivamente o desenvolvimentode Laplace para mostrar que o determinante de A é o produto dos elementos dasua diagonal, isto é, det A = a 11 · · · a nn . Conclua usando o fato de que det A t = det Aque se A é triangular inferior, também vale det A = a 11 · · · a nn .6. Sejam A e P matrizes quadradas de mesma ordem com P inversível. Mostre que det(PAP −1 ) =det A (as matrizes PAP −1 e A são chamadas matrizes semelhantes).7. Seja B uma matriz de ordem n tal que B t B = I n . Mostre que det B = 1 ou det B = −1.8. Diz-se que uma matriz quadrada A é idempotente quando A 2 = A. Mostre que se A éidempotente então det A = 1 ou det A = 0.9. (MATRIZ ADJUNTA) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definimos a matrizadjunta de A como sendo a transposta da matriz dos cofatores dos elementos a ij de A.