Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 12. O PROBLEMA DO TRANSPORTE 130Assim, não podemos aplicar diretamente o método Simplex ao PL. Adotaremos a seguinteestratégia: inserimos uma nova variável artificial x a com coluna e m+n e custo zero. A matrizdas restrições torna-se portantoA 0 = [ A e m+n].É possível mostrar que A 0 tem posto m + n. Podemos assim aplicar o Simplex, onde matrizesbásicas têm ordem m + n.12.1.2 A 0 é totalmente unimodularDizemos que uma matriz C é totalmente unimodular se toda submatriz quadrada (de qualquerordem) tem determinante −1, 0 ou +1. A matriz A 0 é totalmente unimodular, o quesignifica que toda base B tem determinante ±1. Como det B −1 = (det B) −1 , segue que det B −1é ±1. Assim, os vetores y ij = B −1 a ij tem coordenadas ±1 ou 0.Atividade 34. Use a Regra de Crammer para demonstrar que as soluções y ijBy ij = a ij tem coordenadas ±1 ou 0.do sistema12.2 Resolução do problema do transporte via SimplexNesta seção, estudaremos como aplicar o Simplex a problemas de transporte. Basicamenteveremos como obter um Quadro Simplex inicial. Feito isso, prosseguimos normalmente. Umfato interessante vem do fato de A 0 ser totalmente unimodular: como vimos, as entradas doQS em y ij são ±1 ou 0. Isso claramente nos levará a pivoteamentos simples pois os pivôs serãoiguais a 1.Embora o Simplex possa ser inicializado utilizando-se o Método de Duas Fases, descreveremosno que segue uma maneira direta para obtenção de um QS inicial.12.2.1 Obtendo uma base inicialOrganizamos o problema de transporte no seguinte quadro, denominado quadro de transporte:1 2 · · · j · · · n1 s 12 s 2..i (i, j) s i.md 1 d 2 · · · d j · · · d nNa vertical, colocamos as origens e suas capacidades de oferta e na horizontal, os destinos esuas demandas. Cada célula (i, j) representa um vetor a ij . O procedimento para obtenção deuma base viável é o seguinte:1. Tome ŝ i = s i e ˆd j = d j para todos i, j;2. Marque a célula (1, 1) como básica. Tome x 11 = min{ŝ 1 , ˆd 1 } e atualize ŝ 1 e ˆd 1 para ŝ 1 −x 11e ˆd 1 − x 11 , respectivamente;.s m