Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 3. DETERMINANTES 23Denotaremos a adjunta de A por adj A. Em outras palavras,⎡⎤∆ 11 ∆ 21 · · · ∆ n1∆ 12 ∆ 22 · · · ∆ n2adj A = ⎢⎥⎣ . . · · · . ⎦ .∆ 1n ∆ 2n · · · ∆ nn(a) Considere a matriz C = A (adj A). Mostre que os elementos c ij de C são tais quec ii = det A, ∀i e c ij = 0, i ≠ j,isto é, que A (adj A) = (det A) I n .Dica: os elementos c ij são da forma c ij = a i1 ∆ j1 + a i2 ∆ j2 + · · · + a in ∆ jn . Quandoi = j então c ii é o desenvolvimento de Laplace da matriz A escolhendo a linha i, elogo c ii = det A. Quando i ≠ j, c ij é o desenvolvimento de Laplace de uma matrizcom duas linhas iguais a linha i de A (e logo cujo determinante é 0).(b) Usando o item anterior, mostre que se A é inversível então A −1 = 1 (adj A).det A(c) Calcule a inversa deusando a adjunta de A.⎡A = ⎣2 1 0−3 1 41 6 510. (REGRA DE CRAMMER) Considere um sistema linear Ax = b, onde A é matrizquadrada de ordem n (o sistema tem n equações e n incógnitas). Suponha que det A ≠ 0(ou equivalentemente, que A é inversível).(a) Mostre que x = A −1 b é a única solução do sistema Ax = b.(b) Usando o fato de que A −1 = 1 (adj A) (exercício anterior), mostre que o termodet Ai da solução x = A −1 b é dado porx i = b 1∆ 1i + b 2 ∆ 2i + · · · + b n ∆ nidet A⎤⎦= det C idet A ,onde C i é a matriz obtida de A pela substituição da coluna i pela matriz coluna b,isto é,⎡⎤a 11 · · · a 1,i−1 b 1 a 1,i+1 · · · a 1na 21 · · · a 2,i−1 b 2 a 2,i+1 · · · a 2nC i = ⎢⎥⎣ . . . . . · · · . ⎦ .a n1 · · · a n,i−1 b n a n,i+1 · · · a nnEssa técnica de resolução de sistemas lineares n × n é conhecida como Regra deCrammer.⎧⎨ 2x −3y +7z = 1(c) Resolva o sistema x +3z = 5 pela Regra de Crammer.⎩2y −z = 0