Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 10. DUALIDADE 108Como já dito, estamos supondo z j − c j ≤ 0 para todo j. Se também o QS é primal viável,ou seja, se b ≥ 0 então estamos de posse de um QS primal ótimo e o problema está resolvido.Por outro lado, considere b r < 0. Queremos mudar da base atual dual viável para outra dualviável, de modo a resolver o problema dual. Com isso, resolveremos o problema primal. Vamosdeterminar então um pivô que após pivoteamento tradicional a viabilidade dual se mantenha.Se y rk ≠ 0 é o pivô, a linha de z terá como novos termose o novo termo na coluna RHS e linha r será(z j − c j ) ′ = (z j − c j ) − y rjy rk(z k − c k ) (10.4)b ′ r = b ry rk.Como nosso interesse é obter um QS primal viável, escolhemos pivôs negativos. Assim, sendoy rk < 0 teremos b ′ r > 0. Neste caso se y rj ≥ 0, como z k − c k ≤ 0, da equação (10.4) obtemos(z j − c j ) ′ ≤ (z j − c j ) ≤ 0e a viabilidade dual é mantida, como queremos. Agora, se y rj < 0 exigindo que (z j − c j ) ′ ≤ 0na equação (10.4) obtemosz k − c k≤ z j − c j.y rk y rjComo essa inequação deve valer para todo j, escolhemos a coluna k do pivô segundo a regraz k − c ky rk= min{zj − c jy rj; y rj < 0}.Resumindo, o pivô y rk < 0 é escolhido da seguinte forma, em ordem:• Critério de saída: escolha para sair da base x Brb r = min {b i }.de forma que• Critério de entrada: escolha para entrar na base x k de forma que{ }z k − c k zj − c j= min ; y rj < 0 .y rky rjNote que variáveis básicas nunca serão escolhidas pelo critério de entrada, pois suas colunasno quadro não tem componentes negativas (são colunas da identidade).Considere agora o caso em que há candidatos para sair mas não para entrar, ou seja, b r < 0e y rj ≥ 0 para todo j. A linha r do QS diz quen∑y rj x j = b r .j=1Desta forma para qualquer ponto x viável para o problema primal, a relação acima não ésatisfeita pois como x ≥ 0 teríamosn∑0 ≤ y rj x j = b r < 0.j=1Isso mostra que neste caso o problema primal é inviável, e o dual é ilimitado (pelo TeoremaFundamental da Dualidade).Este processo de pivoteamento entre bases duais viáveis é o que conhecemos como o métodoSimplex Dual. Em resumo, o método se estabelece como a seguir: