Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

7. Motivische Homotopietheorie
lokaler Ring, so ist π n (X)(R) = π n (X(R)), die Homotopiegruppe der simplizialen
Menge X(R) in der Kan-Modellstruktur.
In Kapitel 6 haben wir bereits die simpliziale Fundamentalgruppe von Sing A1
• G
bestimmt. Die A 1 -lokalen Fundamentalgruppen eines Schemas X stimmen mit denen
der singulären Ersetzung überein:
Proposition 7.2. Für eine Prägarbe X auf Sm /k ist Sing A1
• (X) eine A 1 -schwach
äquivalente simpliziale Prägarbe. Der Funktor Sing A1
• bewahrt A 1 -Faserungen.
Das ist [MV99, Korollar 3.8, S. 89].
Um zu sehen, dass wir damit bereits die A 1 -lokale Fundamentalgruppe bestimmt
haben, benötigen wir die affine Brown-Gersten-Eigenschaft.
7.2. Die affine Brown-Gersten-Eigenschaft
Der Brown-Gersten-Formalismus [BG73] erlaubt, für gewisse Klassen von Räumen
(Brown-Gersten-Klassen) Schnitte von Garben, die gewisse Eigenschaften haben
(Brown-Gersten-Eigenschaft) über diesen Räumen leichter zu bestimmen. Wir würden
diesen Formalismus gerne verwenden, um Schnitte der Homotopiegruppen-Prägarben
über einem Körper oder einem lokalen regulären Ring zu bestimmen - leider sind dies
keine Brown-Gersten-Klassen, sodass ein etwas anderer Weg gewählt werden muss.
Morel [Mor07] hat dafür die affine Brown-Gersten-Eigenschaft definiert, die es erlaubt,
Schnitte über glatten affinen Schemata zu bestimmen. Singuläre Ersetzungen von
Chevalley-Gruppen erfüllen diese Eigenschaft.
Die Definition von Grothendieck-Topologien und Garben auf einem Situs setzen wir
voraus, wie in [MM92, Definition 1 und 2, S. 110] ausgeführt.
Zur Motivation betrachten wir das Garbenaxiom, zunächst allgemein, dann für die
Zariski-Topologie.
Definition 7.3. Ist F eine mengenwertige Prägarbe auf Sm /k, so heißt F Garbe
bezüglich einer Prätopologie τ, wenn für alle Überdeckungen (U i → X) i∈I von τ das
Diagramm
F (X) → ∏ F (U i ) ⇒ ∏
F (U i × X U j )
i∈I
i,j∈I
ein Differenzkern ist, und alle vorkommenden Faserprodukte stets existieren.
Zur Definition von Differenzkernen (engl. Equalizer) siehe [Mac71, Kapitel II.4, S.
70].
Nun ist die Zariski-Topologie auf Sm /k bereits durch alle offenen Überdeckungen
X = U ∪ V gegeben (d.h. man kann die Garbeneigenschaft darauf prüfen), also
Überdeckungen der Form (U → X, V → X) mit p : U → X und V → X offene
Einbettungen sodass p| p −1 (X\V ) : p −1 (X \ V ) → X \ V ein Isomorphismus ist.
Definition 7.4. Wir nennen ein Quadrat der Form
U × X V
V
U
X
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