Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
(d). Wenn α keine lange Wurzel eines symplektischen Wurzelsystems Φ, so ist c α
bilinear:
c α (s n , t m ) = c α (s, t) nm für n, m ∈ Z.
Beweis.
(a). c α (s, t) =
(Mit 1 multipliziert)
(A zentral in E)
(Definition c α )
(nach Lemma 4.13 g)
=˜h α (st) −1˜hα (st) c α (s, t)
=˜h α (st) −1 c α (s, t)˜h α (st)
=˜h α (st) −1˜hα (s)˜h α (t)
=˜h −α (ts)˜h −α (s) −1˜h−α (t) −1
=c −α (t, s) −1 .
(b). Nach Lemma 4.13 (b) gilt für β = σ α γ:
˜w α (1)˜h γ (u) ˜w α (1) −1 = ˜h β (ηu)˜h β (η) −1
und für η = 1 folgt
˜w α (1)˜h γ (u) ˜w α (1) −1 = ˜h β (u).
Ansonsten ist η = −1 und somit
˜w β (1) ˜w α (1)˜h γ (u) ˜w α (1) −1 ˜w β (1) −1
(nach Lemma 4.13 b)
(1 eingefügt)
(nach Lemma 4.13 g)
(Definition ˜h β )
(Kürzen)
(nach Lemma 4.13 g)
(Definition ˜h −β )
= ˜w β (1)˜h β (−u)˜h β (−1) −1 ˜w β (1) −1
= ˜w β (1)˜h β (−u) ˜w β (1) −1 ˜w β (1)˜h β (−1) −1 ˜w β (1) −1
=˜h β (−u −1 )˜h β (−1) −1
= ˜w β (−u −1 ) ˜w β (1) −1 ˜w β (1) ˜w β (−1) −1
= ˜w β (−u −1 ) ˜w β (−1) −1
= ˜w −β (u) ˜w −β (1) −1
=˜h −β (u).
Damit ist c γ (x, y) = ˜h γ (x)˜h γ (y)˜h γ (xy) −1
=
{
˜w α (1) −1 c β (x, y) ˜w α (1) oder
˜w α (1) −1 ˜w β (1) −1 c −β (x, y) ˜w β (1) ˜w α (1)
und da c ±β (x, y) ∈ A zentral in E liegt, sind diese Konjugate bereits c ±β (x, y).
(c). [˜h α (s), ˜h β (t)] = ˜h α (s)˜h β (t)˜h α (s) −1 ˜hβ (t) −1
= ˜h β (s βα∗ t)˜h β (s βα∗ ) −1 ˜hβ (t) −1 = c β (t, s βα∗ ) −1 (nach Lemma 4.13 (e)).
Analog ist
˜hα (s) ˜h β (t)˜h α (s) −1˜hβ (t) −1 = ˜h α (s)˜h α (t αβ∗ )˜h α (st αβ∗ ) = c α (s, t αβ∗ ).
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