Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

7. Motivische Homotopietheorie
U × X V
V
U
X
wobei U ↩→ X offene Immersion, V → X étale, sodass die Einschränkung auf X \ U
Isomorphismus ist.
Es gibt einige Fälle, in denen eine gegebene Prägarbe nicht die Brown-Gersten-
Eigenschaft hat, jedoch auf einer Klasse von kartesischen Quadraten noch homotopiekartesische
Quadrate liefert.
Definition 7.9. Sei F eine simpliziale Prägarbe auf Sm /k. Dann hat F die affine
Brown-Gersten-Eigenschaft bezüglich der Zariski- bzw. Nisnevich-Topologie, wenn
für jedes elementare Quadrat Q, dessen Komponenten (X, U, V, U × X V ) affin sind,
F (Q) homotopiekartesisch ist. Wir sagen, F habe affine A 1 -Invarianz, wenn für alle
affinen U ∈ Sm /k die Projektion U × A 1 → U unter F schwache Äquivalenzen
F (U) → F (U × A 1 ) induziert.
Dies ist [Mor07, Definition A.1.7, S. 41].
Proposition 7.10. Sei F eine simpliziale Prägarbe auf Sm /k. Wenn F affine A 1 -
Invarianz und die affine Brown-Gersten-Eigenschaft für die Zariski- bzw. Nisnevich-
Topologie hat, so ist die simpliziale fibrante Ersetzung Ex ∞ s F (d.h. die funktorielle fibrante
Ersetzung der Jardine-Modellstruktur) bereits A 1 -lokal und es gibt Kan-schwache
Äquivalenzen F (U) → Ex ∞ s F (U) für alle affinen U ∈ Sm /k.
Dies ist [Mor07, Theorem A.2.2, S. 42] für die Zariski-Topologie und [Mor07, Corollary
A.3.2, S. 44] für die Nisnevich-Topologie. Dabei erinnern wir daran, dass ein Objekt
A 1 -lokal heißt, wenn der durch dieses Objekt dargestellte kontravariante Funktor
Projektionen Y × A 1 → Y auf Bijektionen abbildet. Das ist [MV99, Definition 2.1, S.
106]. ♦
7.3. A 1 -Fundamentalgruppen von Chevalley-Gruppen
Jardine hat 1981 bereits die Homotopietheorie von algebraischen Gruppen studiert.
Satz 7.11 (Jardine). Sei G(Φ) eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe
über einem algebraisch abgeschlossenem Körper k, mit Φ ein irreduzibles reduziertes
Wurzelsystem. Dann gibt es einen Isomorphismus π 1 (Sing A1
• G(Φ), Id) ≃ K 2 (k).
Das ist [Jar83, Satz 2, Seite 181 bzw. Satz 2.1, Seite 185]. Im Wesentlichen verwendet
Jardine im Beweis die Matsumoto-Präsentation von K 2 (k).
♦
Morel hat diese Aussage für SL n auf die motivische Homotopietheorie übertragen,
Wendt hat dies verallgemeinert:
Satz 7.12 (Morel, Wendt). Ist ein irreduzibles reduziertes Wurzelsystem Φ gegeben
und bezeichnet G(Φ) die zugehörige einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe, so
hat Sing A1
• G(Φ) die affine Brown-Gersten-Eigenschaft (für die Nisnevich-Topologie)
und damit ist
π A1
1 (G(Φ))(k) ≃ π 1 (Sing A1
• (G(Φ))(k), Id).
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