Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

3.4. Chevalley-Gruppen und K-Theorie
Lemma 3.25 (Suslin, Vorst). Für r ≥ 3 und einen regulären kommutativen Ring A
mit 1 ist für alle i ∈ N
GL r (A[t 1 , . . . , t i ]) = GL r (A) · E r (A[t 1 , . . . , t i ]),
wenn A die Lokalisierung einer endlich erzeugten k-Algebra für einen Körper k ist
(man sagt auch, A ist von essentiell endlichem Typ über k).
Das ist [Vor81, Theorem 3.3., S. 506], aufbauend auf dem Fall, dass A ein Körper
ist, den Suslin in [Sus77, Theorem 5.1, S. 232] bewiesen hat.
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Wir betrachten, wieso r ≥ 3 im vorigen Satz eine notwendige Bedingung ist.
Beispiel 3.26. Die Cohn-Matrix
( )
1 + xy x
2
A =
−y 2
∈ SL
1 − xy 2 (k[x, y])
lässt sich nicht in Elementarmatrizen faktorisieren (nach [Coh66]). Hingegen kann
man A ⊕ Id ∈ SL 3 (k[x, y]) in Elementarmatrizen faktorisieren.
Satz 3.27. Ist G eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe von Rang ≥ 2
und k ein Körper, so ist für alle n ∈ N
G(k[t 1 , . . . , t n ]) = G(k) · E(k[t 1 , . . . , t n ]),
wobei E = E(G) die elementare Untergruppe von G bezeichnet.
In [Wen10, Proposition 4.7, S. 271] wird diese Aussage nicht nur für Körper, sondern
allgemeiner für Dedekindringe bewiesen. Die grobe Beweisstrategie ist eine Adaption
des Beweises von Lemma 3.25 aus [Abe83, Theorem 3.8. (ii), S. 1302].
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Definition 3.28. Sei Φ ein Wurzelsystem und R ein Ring. Sei G(Φ) eine einfach
zusammenhängende Chevalley-Gruppe mit Wurzelsystem Φ und elementarer Untergruppe
E(Φ). Dann heißt
K 1 (Φ, R) := G(Φ, R)/E(Φ, R)
die erste instabile K-Theorie von R bezüglich Φ.
Bemerkung 3.29. Die Menge K 1 (Φ, R) ist im Allgemeinen keine Gruppe, da E(Φ, R)
nicht für alle Φ und alle R Normalteiler in G(Φ, R) ist.
Die stabile erste K-Theorie ist dann K 1 (R) := lim K 1 (A n , R), was mit der zuvor
gegebenen Definition übereinstimmt. Satz 3.27 ist äquivalent zur Aussage, dass
−→n
K 1 (Φ, k[t 1 , . . . , t n ]) ≃ K 1 (Φ, k) ist, für Φ das Wurzelsystem von G, denn E(Φ, k[t 1 , ..., t n ])∩
G(Φ, k) = E(Φ, k).
Satz 3.30 (Abe). Für einen lokalen Ring R ist E(Φ, R) = G(Φ, R) und damit
K 1 (Φ, R) = 0.
Das ist [Abe69, Proposition 1.6, S. 477].
Nun können wir die zentralen Objekte dieser Arbeit definieren:
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