Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
(b). Sei Ñ := N ∗ /J. Dann ist ˜H isomorph zu einem Normalteiler von
eine zentrale Erweiterung von N durch A:
Ñ und Ñ ist
A → Ñ ϕ −→ N
mit ϕ(˜h α (t)) := h α (t) und ϕ(p ∗ ( ˜w α )) := w α (−1) für α ∈ ∆. Setze
∀α ∈ ∆, ∀t ∈ k × : ˜w α (t) := ˜h α (t)p ∗ ( ˜w α ) −1 ,
dann ist p ∗ ( ˜w α ) = ˜w α (−1) und ˜w α (t) −1 = ˜w α (−t).
Beweis. Der Homomorphismus j lässt sich zunächst auf den Erzeugern ˜h α ∈ ˜H für
α ∈ ∆ definieren als j(˜h α ) := ˜h α (−1), damit er auf ˜H auch definiert ist, muss er die
Relationen (H1) erfüllen, also [˜h −1
ist
−1
α , ˜h
β
βα∗
˜h1−(−1)
β
=
andererseits ist nach Lemma 4.22
] auf das selbe Bild wie ˜h
1−(−1)βα∗
{
Id,
˜h2 β ,
für βα ∗ gerade,
sonst,
[˜h α (−1) −1 , ˜h β (−1) −1 ] = c β ((−1) βα∗ , −1) = h β ((−1) βα∗ )h β (−1),
was für βα ∗ gerade genau Id ist, ansonsten h β (−1) 2 .
β
abbilden. Es
4.3.5. Die zentrale Erweiterung der Gruppe G(k)
Jetzt definieren wir eine zentrale Erweiterung E ↠ G(k), die die zentrale Erweiterung
A → Ñ → N zum Kozykel c ∈ S(k× , A) fortsetzt. Dazu wird die Bruhat-Zerlegung
von G(k) verwendet.
Definition 4.27. Sei ν : G(k) → N die Projektion auf den Normalisator, die von
der Bruhat-Zerlegung aus Lemma 3.14 her kommt. Wir betrachten den Pullback
S := G(k) × N Ñ ⊂ G(k) × Ñ, also haben wir ein kommutierendes Diagramm von
Mengen (nicht von Gruppen!)
p
S
G(k)
ν
·
ν
Ñ
N
ϕ
Nun definieren wir Transformationen S → S:
∀˜h ∈ ˜H : λ(˜h)(g, ñ) := (ϕ(˜h)g, ˜hñ),
∀u ∈ U + : λ(u)(g, ñ) := (ug, ñ),
∀α ∈ ∆ : λ α (g, ñ) := (w α (−1)g, Xñ).
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