Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
6.2. Singuläre Auflösung der Steinberggruppe
Definition 6.10. Sei G = G(Φ) eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe,
k ein Körper und St(Φ, k) die entsprechende Steinberggruppe (aus Definition 3.31),
also die universelle zentrale Erweiterung der k-rationalen Punkte von G nach Satz 3.32.
Dann definieren wir die simpliziale Steinberggruppe
St • := Sing A1
• St(Φ)(k) := St(G)(∆ • k)
wobei wir die Gruppe G nur dann in der Notation weglassen, wenn klar ist, welche
Gruppe gemeint ist, oder wenn es unerheblich ist. Wir werden zur Präzisierung auch
St • (Φ) notieren, wenn Φ das Wurzelsystem von G ist. Als Basispunkt wählen wir stets
implizit Id ∈ St 0 = St(G(k)).
Bemerkung 6.11. Zwar ist die Steinberggruppe zunächst nur eine abstrakte Gruppe,
und insbesondere keine algebraische Gruppe, aber nach der Steinberg-Präsentation
ist sie eine Prägarbe auf der Kategorie der affinen Schemata, d.h. man kann in die
Erzeuger ˜x α der Steinberggruppe Elemente beliebiger Ringe einsetzen. Somit ist dann
auch in Definition 6.10 eine simpliziale Gruppe St • definiert. Diese ist nach Lemma 5.29
fibrant.
Lemma 6.12. Sei G eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe und St • die
simpliziale Steinberggruppe von G(k). Dann ist π 0 (St • ) = 0.
Beweis. Nach Konstruktion ist St 0 = St(G(k)), wird also von den ˜x α (u) für α ∈ Φ
und u ∈ k erzeugt. Der Weg ˜X α (u) := ˜x α (tu) verbindet die Identität Id = ˜x α (0)
mit ˜x α (u), also liegen alle Elemente von St 0 in der Zusammenhangskomponente des
Basispunkts.
Definition 6.13. Sei G eine einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppe, R ein
Ring und St • die simpliziale Steinberggruppe von G(R). Dann definieren wir für alle
n ∈ N, alle α ∈ Φ und alle f ∈ R[t 1 , . . . , t n ]
π : St n ↠ G n , ˜x α (f(t 1 , . . . , t n ) ↦→ x α (f(t 1 , . . . , t n )),
also einen simplizialen Epimorphismus π : St • ↠ G • , der für einen Körper R = k den
Epimorphismus St(G(k)) ↠ G(k) von Steinberg fortsetzt.
Bemerkung 6.14. Wenn Vermutung 3.35 korrekt ist, dann ist für rk Φ ≥ 5 und R
lokaler Ring auch π : St n ↠ G n eine universelle perfekte zentrale Erweiterung, also
K 2 (Φ, R[∆ • ]) ↩→ St • ↠ G •
eine universelle perfekte zentrale Erweiterung von simplizialen Gruppen. Mit Satz 3.34
gilt dies in jedem Falle für Φ = A n mit n ≥ 5.
Um den Hauptsatz dieser Arbeit zu beweisen, ist die folgende triviale Aussage sehr
hilfreich.
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