Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
wir im Folgenden mit St(G) und verwenden, dass es sich um die Steinberggruppe St(Φ)
handelt. Wir notieren wieder abkürzend G • := Sing A1
• G(k) und St • := Sing A1
• St(k)
für die singuläre Auflösung von G bzw. ihrer Steinberggruppe, also z.B. G 0 = G(k)
und G 1 = G(k[t]).
Definition 6.29. Sei h = h α : G m → G für ein α ∈ Φ. Ein Element H t (s) ∈
G(R[s, s −1 , t]), welches für alle a ∈ R × die Eigenschaften
H 0 (a) = Id, H 1 (a) = h(a), H t (1) = Id
hat, wollen wir einen guten Weg (zu h(a)) in G • nennen.
Für x, y ∈ R × wollen wir die Elemente C t (x, y) ∈ G(R[t]), welche durch
C t (x, y) := H t (x)H t (y)H t (xy) −1
gegeben sind, gute Schleifen (zu (x, y) ∈ G m (R) × G m (R)) in G • nennen.
Dass die Terminologie gerechtfertigt ist, zeigt das folgende Lemma.
Lemma 6.30. Gute Schleifen im Sinne von Definition 6.29 sind Schleifen, d.h.
C 0 (x, y) = C 1 (x, y) = Id,
C t (1, y) = C t (x, 1) = Id,
damit ist C t ein Morphismus
G m (R) ∧ G m (R) → Ω G • (R).
Beweis. Nach Definition von C t und den Eigenschaften guter Wege erhalten wir
C 0 (x, y) = H 0 (x)H 0 (y)H 0 (xy) −1 = Id · Id · Id −1 = Id,
C 1 (x, y) = H 1 (x)H 1 (y)H 1 (xy) −1 = h(x)h(y)h(xy) −1 = h(xy)h(xy) −1 = Id,
C t (x, 1) = H t (x)H t (1)H t (x) −1 = H t (x) · 1 · H t (x) −1 = Id,
C t (1, y) = H t (1)H t (y)H t (y) −1 = Id ·H t (y)H t (y) −1 = Id .
Definition 6.31. Wir wählen für jedes s ∈ k einen Weg, insgesamt einen Morphismus
X α t
: G a (k) → G α (k[t]), X α t (s) := x α (ts),
sodass die Xt α (s) (für t = 0) x α (0) = Id mit x α (s) (für t = 1) verbinden. Weiterhin
wählen wir Wege
Wt α (s) := Xt α (s)Xt
−α (−s −1 )Xt α (s),
die Id mit w α (s) verbinden und schließlich sind
Wege, die Id mit h α (s) verbinden.
H α t (s) := W α
t (s)W α
t (1) −1
Proposition 6.32. Die Wege H α t (s) sind per definitionem gute Wege.
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