Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

1. Einleitung
Matsumotos Beweis dieser Präsentation wird in dieser Arbeit ausführlich nachgerechnet.
Die Ergebnisse über die Fundamentalgruppe von Sing A1
• G(k) liefern eine
Verallgemeinerung eines Satzes von Jardine auf instabile K-Theorie und unendliche
Körper, die nicht notwendig algebraisch abgeschlossen sind:
π 1 (Sing A1
• G(k)) ≃ K 2 (Φ, k)
Unter Verwendung von Resultaten von Morel und Wendt
π A1
1 (G)(k) ≃ π 1 (Sing A1
• G(k))
erhalten wir schließlich eine Aussage über π A1
1 , die motivische Fundamentalgruppe im
Sinne von Morel und Voevodsky.
Damit ist die ursprüngliche Fragestellung der Arbeit beantwortet:
“Wie sehen die Schleifen in der A 1 -Homotopietheorie von G(k) aus?”.
Der Beweis wird geführt, indem zunächst über ein Fasersequenzen-Argument hergeleitet
wird, dass die Liftungsabbildung L : π 1 (Sing A1
• G(k)) −→ ∼ K 2 (k) ein Isomorphismus
ist (hier geht die Homotopieinvarianz von instabilem K 2 in einer Variablen ein).
Dann wird eine Schleifenabbildung C : k × × k × → Ω Sing A1
• G(k) definiert, die bis auf
Homotopie über K M 2 (k) (bzw. für symplektisches G über K Sp
2 (k)) faktorisiert. Diese
Abbildung ist invers zu L, wobei wir, um die Abbildung C : K M 2 (k) → π 1 (Sing A1
• G(k))
als Inverse zu L : π 1 (Sing A1
• G(k)) −→ ∼ K 2 (k) aufzufassen, den Satz von Matsumoto
verwenden. Für die Faktorisierung der Abbildung C sind Relationen in Ω Sing A1
• G(k)
bis auf Homotopie nachzurechnen, wozu vor allem ein homotopietheoretisches Analogon
von Chevalleys Kommutatorformel notwendig ist. Durch die Identifikation
von π 1 (Sing A1
• G(k)) mit π1 A1 (G)(k) aufgrund der affinen Brown-Gersten-Eigenschaft
von Sing A1
• G lässt sich die Steinberg-Relation in K M 2 (k) bzw. in K Sp
2 (k) innerhalb
der A 1 -Homotopietheorie zeigen, was ein allgemeines Argument von Hu und Kriz
verwendet.
Struktur der Arbeit
Im zweiten Kapitel werden Gruppenhomologie, Kohomologie und der Zusammenhang
mit Gruppenerweiterungen und K-Theorie kurz vorgestellt, um den Einstieg in Aussage
und Beweis des Satzes von Matsumoto zu erleichtern. Im dritten Kapitel werden
einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppen definiert und eine Präsentation für
die k-rationalen Punkte über einem Körper k vorgestellt. Ziel der Kapitel zwei und
drei ist die Definition der Steinberggruppe und der instabilen K-Theorie zu einem
Wurzelsystem in Definition 3.31.
Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit dem Satz von Matsumoto und seinem
Beweis, für den die ersten drei Kapitel Voraussetzung sind. Der Beweis des Satzes ist
ausführlicher ausgearbeitet als im ursprünglichen Artikel von Matsumoto und kann
somit als Hilfe zum Verständnis dienen. Auf der anderen Seite ist das Studium des
Beweises für das erste Verständnis der restlichen Arbeit nicht zwingend erforderlich.
An einigen späteren Textstellen wird auf einzelne Passagen des Beweises hingewiesen,
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