Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Teil (b) auf die triviale Erweiterung G(k) → G(k) anwenden. Es bleiben also noch die
folgenden zwei Aussagen zu zeigen:
(I)
(II)
Für Φ = C 2 :
Für Φ = A 2 :
˜w(σ γ σ α σ γ )˜h α (t) ˜w(σ γ σ α σ γ ) −1 = ˜h α (t),
˜w(σ β σ α )˜h β (t) ˜w(σ β σ α ) −1 = ˜h α (t).
Für Teil (I) rechnen wir: ˜w(σ γ σ α σ γ )˜h α (t) ˜w(σ γ σ α σ γ ) −1
= ˜w γ (1) ˜w α (1) ˜w γ (1)˜h α (t) ˜w γ (1) −1 ˜w α (1) −1 ˜w γ (1) −1
= ˜w γ (1) ˜w α (1)˜h α (t)˜h γ (t −γα∗ ) ˜w α (1) −1 ˜w γ (1) −1
= ˜w γ (1) ˜w α (1)˜h α (t) ˜w α (1) −1 ˜w α (1)˜h γ (t −γα∗ ) ˜w α (1) −1 ˜w γ (1) −1
= ˜w γ (1) ˜h α (t −1 ) ˜h γ (t −γα∗ )˜h α (t γα∗ αγ ∗ ) ˜w γ (1) −1
= ˜w γ (1) ˜h α (t −1 )˜h α (t 2 ) ˜h γ (t −γα∗ ) ˜w γ (1) −1
= ˜w γ (1) ˜h α (t) ˜h γ (t −γα∗ ) ˜w γ (1) −1
=˜h α (t) ˜h γ (t −γα∗ ) ˜h γ (t γα∗ )
=˜h α (t) c γ (t −γα∗ , t γα∗ )
=˜h α (t) c α (t, t −αγ∗ γα ∗ ) −1
=˜h α (t) c α (t, t −2 ) −1
=˜h α (t).
Für Teil (II) rechnen wir ebenso: ˜w(σ β σ α )˜h β (t) ˜w(σ β σ α ) −1
= ˜w β (1) ˜w α (1)˜h β (t) ˜w α (1) −1 ˜w β (1) −1
= ˜w β (1) ˜h β (t)˜h α (t −αβ∗ ) ˜w β (1) −1
= ˜w β (1)˜h β (t) ˜w β (1) −1 ˜w β (1)˜h α (t) ˜w β (1) −1
=˜h β (t −1 ) ˜h α (t)˜h β (t −βα∗ )
=˜h α (t)˜h β (t −1 )˜h β (t)c β (t, t)
=˜h α (t)c β (t −1 , t)c β (t, t)
=˜h α (t).
Bemerkung 4.41. Im Artikel von Matsumoto besteht Lemma 7.2 aus den Aussagen
von Proposition 4.39 und Lemma 4.40.
Nun können wir endlich abschließen mit dem
Beweis von Lemma 4.38. Wenn σ(β) ≠ ±α, so ist für g := x α (u)w(σ)x β (v) nach
Lemma 4.4 (b), angewandt auf die triviale Erweiterung G(k) → G(k):
ν(g) = w(σ), ν(gw β (−1)) = w(σ)w β (1) −1 ,
ν(w α (−1)g) = w α (1) −1 w(σ), ν(w α (−1)gw β (−1)) = w α (1) −1 w(σ)w β (1) −1 59