Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Lemma 4.42. Seien E, E ∗ zwei Gruppen, die auf einer Menge S transitiv operieren
(d.h. für alle s 1 , s 2 ∈ S gibt es e ∈ E und e ∗ ∈ E ∗ sodass e.s 1 = s 2 und e ∗ .s 1 = s 2 )
und effektiv operieren (d.h. für jedes e ∈ E mit e ≠ id und jedes e ∗ ∈ E ∗ mit e ∗ ≠ id
gibt es s 1 , s 2 ∈ S sodass e.s 1 ≠ s 1 und e ∗ .s 2 ≠ s 2 ). Wenn die Operationen miteinander
verträglich sind (d.h. für alle s ∈ S und alle e ∈ E, e ∗ ∈ E ∗ ist e ∗ .e.s = e.e ∗ .s), so
operieren E und E ∗ bereits einfach transitiv auf S (d.h. für je zwei s 1 , s 2 ∈ S gibt es
genau ein e ∈ E und genau ein e ∗ ∈ E ∗ sodass e.s 1 = s 2 und e ∗ .s 1 = s 2 ).
Beweis. Seien e 1 , e 2 ∈ E und s 1 ∈ S. Setze s 2 := e 1 .s 1 . Wir nehmen an, dass e 2 .s 1 = s 2
und zeigen damit, dass e 2 = e 1 folgt.
Sei s 3 ∈ S beliebig und s 4 := e −1
1 e 2 .s 3 . Mit der Transitivität der Operation von E ∗
können wir e ∗ ∈ E ∗ wählen, sodass e ∗ .s 3 = s 1 ist. Dann ist
s 4 = (e ∗ ) −1 e ∗ .e −1
1 e 2 .s 3 ,
was wir mit der Verträglichkeit der beiden Operationen äquivalent formulieren können:
s 4 = (e ∗ ) −1 .e −1
1 e 2 .e ∗ .s 3 = (e ∗ ) −1 .e −1
1 e 2 .s 1 = (e ∗ ) −1 .s 1 = s 3 .
Also hält e −1
1 e 2 auch s 3 fest. Da wir s 3 beliebig gewählt haben, operiert e −1
1 e 2 als
Identität auf S. Da die Operation von E als effektiv vorausgesetzt wurde, ist e −1
1 e 2
bereits die Identität.
Abschließend können wir die Resultate dieses Abschnittes einsammeln.
Beweis von Lemma 4.30. Nun haben wir in Lemma 4.38 gesehen, dass die λ α ∈ E
mit den ρ β ∈ E ∗ kommutieren, zusammen mit Lemma 4.37 wissen wir also, dass
jedes Element von E mit jedem Element aus E ∗ kommutiert. Da E, E ∗ transitiv und
effektiv auf S operieren, operieren sie also nach Lemma 4.42 einfach transitiv auf S.
Damit lässt sich nun auf S durch Wahl eines neutralen Elements eine Gruppenstruktur
definieren, sodass S ≃ E ist.
Die Elemente ˜w α (−1), α ∈ ∆ erfüllen (W1) und (W2), also erfüllen die λ α ∈ E die
gleichen Relationen.
Im Rang-1-Fall ist nach Bruhat-Zerlegung von G(k) die Gruppe E gleich der
Vereinigung der λ(U + )λ(˜H) und der λ(U + )λ(˜H)λ α λ(U + ). Damit ist ker(π : E →
G(k)) = λ(A).
Wir setzen
ξ α (u) := λ(x α (u)) und ξ −α (u) := λ α ξ α (−u)λ −1
α ,
dann ist für alle t ∈ k × :
ω α (t) = ξ α (t)ξ −α (−t −1 )ξ α (t) = λ(˜h α (t))λ −1
α .
Nach den Lemmata 4.29 (a), 4.13 (c) und 4.4 liefern ξ α und ξ −α die Isomorphismen
von k nach π −1 (U α ) und π −1 (U −α ) die zur Definition des Steinberg-Kozykels c E in α
relativ zu den x α und x −α herangezogen wurden. Damit ist c E = λ ◦ c α = λ ◦ c, wobei
c der zu Anfang vorgegebene Steinberg-Kozykel ist.
61