Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5.4. Fasersequenzen
Lemma 5.41. Ist ˜G • → G • eine universelle Überlagerung und G ′ • ↠ G • eine Überlagerung,
so gibt es einen Epimorphismus ˜G • ↠ G ′ •, der mit den Morphismen nach G •
kommutiert.
Beweis. Aus der Fasersequenz für G ′ • ↠ G • erhalten wir einen Epimorphismus
π 1 (G • , id) ↠ F , wenn F die Faser von G ′ • über ∗ bezeichnet. Der Kern dieses Epimorphismus
ist (wie man ebenfalls der Fasersequenz entnimmt) π 1 (G ′ •, id). Damit können
wir das kommutative Diagramm betrachten
π 1 (G ′ id
•, id) π 1 (G ′ •, id) 0
π 1 (G • , id) ˜G• G •
∃? id
π 1 (G ′ •,id)
π 1 (G •,id)
G ′ • G •
in dem die Zeilen exakt sind. Wir erhalten daraus
˜G •
π 1 (G • , id) ≃ G • ≃
G ′ •
(
π1 (G •,id)
π 1 (G ′ •,id)
und mit einem Noetherschen Isomorphiesatz ist also ˜G • /π 1 (G ′ •, id) ≃ G ′ •, was den
gesuchten Epimorphismus liefert.
)
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