Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4. Matsumotos Satz
und somit direkt
ν(g) −1 ν(gw β (−1)) = ν(w α (−1)g) −1 ν(w α (−1)gw β (−1))
und ν(w α (−1)g)ν(g) −1 = ν(w α (−1)gw β (−1))ν(gw β (−1)) −1 ,
woraus wegen s = (g, ˜w(σ)) durch das Einsetzen der Definition von λ α und ρ β direkt
folgt, dass
λ α (ρ −1
β
(s)) = ρ−1
β
(λ α(s)).
Wenn σ(β) = α ist, wissen wir aus Lemma 4.40 (b), dass w(σ)x β (v) = x α (v)w(σ)
ist, also können wir v = 0 annehmen, d.h. g = x α (u)w(σ) mit u ≠ 0. Dann ist
ν(gw β (−1)) = ν(g)w β (1) −1 und ν(w α (−1)gw β (−1)) = h α (u −1 )ν(gw β (−1)), daher mit
Proposition 4.39 (b)
˜ν ( λ α (ρ −1
β (g, ˜w(σ))) = ˜h α (u −1 ) ˜w(σ)˜h β (−1) ˜w β (1) = ˜h α (u −1 )˜h α (−1) ˜w(σσ β ).
Auf der anderen Seite ist
Mit Proposition 4.39 (b) folgt also
˜ν ( ρ −1
β
(λ α(g, ˜w(σ)) ) = ˜w α (−1) ˜w(σ)˜h β (u)
λ α (ρ −1
β
=˜h α (−1) ˜w α (1)˜h α (u) ˜w(σ)
=˜h α (−1)˜h α (u −1 ) ˜w(σ α σ).
(s)) = ρ−1 (λ α(s)).
Wenn σ(β) = −α ist, und uv(1 − uv) = 0 ist, also uv = 0 oder uv = 1, so können
wir uns mit Lemma 4.37 auf den vorigen Fall zurückziehen. Sei also σ(β) = −α und
uv(1 − uv) ≠ 0 und g = x α (u)w(σ)x β (v). Dann haben wir
Damit sehen wir
auf der anderen Seite
gw β (−1) =x α (u)w(σσ β )x β (−v −1 )w β (1)h β (v)x β (−v −1 )
=x α (u − v −1 )w(σ)h β (v)x β (−v −1 ).
˜ν ( λ α (ρ −1
β
(g, ˜w(σ)))) =˜h α ((u − v −1 ) −1 ) ˜w(σ)˜h β (v)
β
=˜h α ((u − v −1 ) −1 )˜h α (v −1 ) ˜w(σ),
˜ν ( ρ −1
β (λ α(g, ˜w(σ))) ) =˜h α (u −1 ) ˜w(σ)˜h β (v − u −1 )
Mit Proposition 4.39 (b) folgt also auch hier
λ α (ρ −1
β
=˜h α (u −1 )˜h α ((v − u −1 ) −1 ) ˜w(σ).
(s)) = ρ−1 (λ α(s)).
β
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