Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
4.3.3. Eine zyklische Erweiterung von N und Operationen auf ˜H
Wir erinnern kurz daran, dass sich in der Gruppe G(k) der Normalisator N schreiben
lässt als semidirektes Produkt des Torus mit der Operation des Normalisators N =
N Z über den ganzen Zahlen: N = H ⋊ N (man sieht dies an der Demazure-Tits-
Präsentation von N in Lemma 3.11). Wir bezeichnen mit H := H Z die ganzzahligen
Punkte des Torus H.
Lemma 4.23 (Matsumoto, 6.3). Sei Ñ die von den Elementen w α , α ∈ ∆ erzeugte
Gruppe unter den Relationen (W1,W2), h α := w 2 α und π : Ñ → N die Projektion auf
N = N Z . Dann gelten die folgenden Aussagen.
(a). Die Gruppe ker(π) ist zentral in Ñ und wird von den z α := h 2 α = w 4 α für α lange
Wurzel erzeugt. Die Gruppe ker(π) ist zyklisch von unendlicher Ordnung, falls
G symplektisch ist, ansonsten zyklisch von Ordnung 2.
Ñ lässt sich durch die folgenden Relationen (für α, β ∈ ∆) präsen-
(b). Die Gruppe
tieren:
(W1’)
(W2’)
[h −1
α , w −1
β
] = w1−(−1)βα∗
β
;
⎧
w α w β = w β w α falls βα ∗ = 0;
⎪⎨
w α w β w α = w β w α w β falls βα ∗ = αβ ∗ = −1;
(w α w β )
⎪⎩
2 = (w β w α ) 2 falls βα ∗ = −2;
(w α w β ) 3 = (w β w α ) 3 falls βα ∗ = −3;
(c). Die Untergruppe ˜H von Ñ , die von den h α, α ∈ ∆ erzeugt wird, wird durch die
folgende Relation präsentiert:
(H1)
[h −1
α , h −1
β
] = h1−(−1)βα∗
β
.
Beweis. Die Elemente z α erzeugen nach Relation (W1) eine zentrale Untergruppe
von Ñ , die nach Lemma 3.11 bereits ker(π) ist. Die Relationen (W1) und (W1’) sind
äquivalent, denn wegen Zentralität der z α = h 2 α ist h 2 αw (−1)βα∗
β
damit
(W 1 ′ ) ⇔ w −1
β
h α = h α w −(−1)βα∗
β
⇔ h α w β h −1
α
h −2
α
= w (−1)βα∗
β
= h 2 αw (−1)βα∗
β
h −2
α ⇔ (W 1).
Die Relationen (W1) bzw. (W1’) spezialisieren sich insbesondere zu
{
h α w β = w β h α falls βα ∗ gerade,
h α w β = w −1
β h α falls βα ∗ ungerade.
und
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