Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

7.4. Die Steinberg-Relation
Das ist für Φ ≠ A 1 eine direkte Anwendung von Theorem 4.10 in [Wen10]. Moser
hat in seiner Dissertation [Mos] den Fall Φ = A 1 und auch einen Beweis der affinen
Brown-Gersten-Eigenschaft für isotrope reduktive Gruppen bearbeitet.
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7.4. Die Steinberg-Relation
Wir wollen in diesem Abschnitt Satz 6.45 beweisen, also nun die Steinberg-Relation
für ausgezeichnete Schleifen in π 1 (G • ) nachrechnen.
Proposition 7.13 (Hu-Kriz). Bezeichne π : G m × G m ↠ G m ∧ G m die Projektion auf
das Smash-Produkt. Dann gibt es einen Raum X und eine Abbildung ψ : G m ∧ G m → X,
sodass der Steinberg-Morphismus
fortsetzbar ist zu einem Morphismus
und die simpliziale Suspension Σ s von ψ
s : A 1 \{0, 1} → G m × G m , a ↦→ (a, 1 − a)
˜s : A 1 → X,
˜s| A 1 \{0,1} = ψ ◦ π ◦ s,
Σ s ψ : Σ s (G m ∧ G m ) → Σ s X
ist eine A 1 -schwache Äquivalenz. Damit lässt sich auch
fortsetzen zu einem Morphismus
Σ s s : Σ s A 1 \{0, 1} → Σ s G m × G m
Σ s˜s : Σ s A 1 → Σ s X,
der in der (instabilen) A 1 -Homotopiekategorie mit [Σ s ψ] −1
A 1
Homotopieklasse liefert:
verknüpft die triviale
[Σ s ψ] −1
A 1 ◦ [Σ s˜s] A 1 ∈ [Σ s A 1 , Σ s (G m ∧ G m )] A 1.
Das ist eine Abwandlung von Proposition 1 in [HK01].
Satz 7.14. Sei G • := Sing A1
• G die singuläre Auflösung einer algebraischen Gruppe
G und C : G m ∧ G m → Ω s G • ein Morphismus, wobei Ω s den simplizialen Schleifenraum
bezeichnet. Dann erfüllt C bis auf Homotopie in der Jardine-Modellstruktur die
Steinberg-Relation, d.h.
∀a ∈ G m : [C(a, 1 − a)] ∈ π 1 (G • )(k) trivial.
Beweis. Ist X ein kofibranter Raum und Y ein fibranter Raum, so ist in der A 1 -
lokalen Modellstruktur [Σ s X, Y ] A 1 ≃ [X, Ω s Y ] A 1. Diese Adjunktion werden wir für
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