Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

7. Motivische Homotopietheorie
7.1. Einführung
Der allgemeine Formalismus zur Definition von Homotopien und Homotopiegruppen
ist Quillens Homotopical Algebra [Qui67], insbesondere der grundlegende Begriff der
Modellkategorie. Morel und Voevodsky haben eine Modellkategorie definiert [MV99],
in der man jedem Schema, wie auch jedem simplizialen Schema und jeder simplizialen
Prägarbe auf Schemata, Homotopiegruppen zuordnen kann und in der sich die affine
Gerade A 1 wie das Einheitsintervall der klassischen Topologie verhält. In der K-Theorie
verwendet man nur glatte Schemata, da nur dann K-Theorie Homotopie-invariant ist.
Dazu wird die Kategorie der glatten Schemata Sm /k über einem perfekten Körper
k eingebettet in die Kategorie der simplizialen Prägarben auf Sm /k, auch bezeichnet
mit ∆ op PShv(Sm /k). Die Yoneda-Einbettung in eine Prägarbenkategorie geschieht,
um alle kleinen Limiten und Kolimiten in der Kategorie zu haben. Man verwendet
Prägarben mit Werten in der Kategorie simplizialer Mengen, um auf simpliziale
Homotopietheorie zurückgreifen zu können.
Wir verwenden auf simplizialen Mengen die Kan-Modellstruktur aus Definition 5.20.
Während Morel und Voevodsky in [MV99] Garben in der Nisnevich-Topologie verwenden,
betrachten wir zunächst nur Prägarben - die entsprechenden Modellkategorien
sind Quillen-äquivalent nach [Jar00, Theorem B.6]. Zur Nisnevich-Topologie und ihren
Anwendungen gibt es eine ausführliche Bibliographie von Nisnevich [Nis].
Wir werden im Folgenden Begriffe und Sätze der abstrakten Homotopietheorie nur
soweit notwendig verwenden und verweisen auf die Lehrbücher von Hirschhorn [Hir03]
und Hovey [Hov99] für Modellkategorien und Goerss und Jardine [GJ99] sowie May
[May92] für simpliziale Objekte.
Zunächst betrachtet man auf ∆ op PShv(Sm /k) eine Modellstruktur, in der sich A 1
noch nicht wie das Einheitsintervall verhält:
Definition 7.1. Die Jardine-Modellstruktur auf ∆ op PShv(Sm /k) ist gegeben durch:
Kofaserungen sind genau die Monomorphismen, schwache Äquivalenzen sind genau
die Abbildungen, die auf Halmen schwache Äquivalenzen von simplizialen Mengen
induzieren und Faserungen sind über die rechte Liftungseigenschaft definiert.
Diese Modellkategorie ist somit eine eigentliche simpliziale Modellkategorie, siehe
[MV99, Remark 1.5, S. 49] und [MV99, Remark 1.9, S. 50] für die analogen Aussagen
für Garben.
Um eine Modellkategorie zu erhalten, in der A 1 zusammenziehbar ist und in der
X × A 1 und X schwach äquivalent sind, forciert man diese Eigenschaften mit einer
Bousfield-Lokalisierung am Objekt A 1 (siehe [Hir03, Definition 3.3.1, Chapter 3.3, S.
57]). Die so erhaltene Modellkategorie heißt A 1 -lokale Modellkategorie.
Um Homotopiegruppen zu berechnen, verwenden wir eine A 1 -schwach äquivalente
Ersetzung, den singulären Funktor Sing A1
• . Die A 1 -Homotopiegruppe πn A1 (X)(R) eines
glatten Schemas X über einem Ring R stimmt im Allgemeinen nicht mit der simplizialen
Homotopiegruppe von X(R), also mit π n (X)(R) in der Jardine-Modellstruktur
überein. Ein Vorteil der simplizialen Homotopietheorie ist aber, dass sie sich lokal
berechnen lässt, d.h. auf lokalen Ringen bereits vollständig festgelegt ist. Ist R ein