Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

3. Chevalley-Gruppen
Eine kurze Warnung an den Leser: Eigentlich soll es in dieser Arbeit ohnehin nur um
einfach zusammenhängende Chevalley-Gruppen gehen, und in der Notation geht in
diesem Kapitel einiges durcheinander.
Wir wollen in dieser Arbeit unter einem Schema stets ein separiertes Schema
im Sinne von [Har77, Kapitel II, S. 74] verstehen. Alle betrachteten Ringe sollen
stets kommutativ und mit Eins sein. Wir werden nur perfekte Körper k betrachten.
Weiterhin nennen wir für einen Körper k ein Schema von endlichem Typ über k,
welches über k reduziert ist, eine k-Varietät.
3.1. Reduktive lineare algebraische Gruppen
In diesem Kapitel werden die Grundlagen über Varietäten, algebraische Gruppen,
ihre Lie-Algebren und Wurzelsysteme vorausgesetzt, wie in [Spr09] (oder [Bou68])
ausgeführt. Wir werden vor allem die Notation fixieren, dann noch etwas zur Automorphismengruppe
(Weylgruppe und sogenannten Diagramm-Automorphismen)
feststellen, was im weiteren Verlauf benötigt wird. Wesentlich für die restliche Arbeit
ist vor allem Abschnitt 3.4.
Definition 3.1. Sei k ein Körper. Eine algebraische Gruppe G über k ist eine k-
Varietät G, die ein Gruppenobjekt in der Kategorie der k-Varietäten ist. Das impliziert
für die Punkte über einem Ring R, dass G(R) eine Gruppe ist und die Multiplikation
µ : G × G → G sowie Inversion i : G → G Morphismen von k-Varietäten sind.
Schließlich nennen wir eine algebraische Gruppe G über k lineare algebraische Gruppe,
wenn sie als k-Varietät affin ist.
Das ist [Spr09, Definition 2.1.1, S. 21].
Wir erinnern an die Diskussion zentraler Erweiterungen in Bemerkung 2.26.
Beispiel 3.2. Ist G eine lineare algebraische Gruppe über Q, so lassen sich die reellen
Punkte G(R) sowie die komplexen Punkte G(C) mit der Struktur einer reellen Liegruppe
ausstatten. Diese beiden verschiedenen topologischen Gruppen haben ihrerseits i.A.
verschiedene topologische Fundamentalgruppen und universelle zentrale Erweiterungen
(sofern sie überhaupt perfekt sind).
Für G = SL 2 ist SL 2 (C) als Liegruppe einfach zusammenhängend in dem Sinne, dass
π 1 (SL 2 (C), Id) die triviale Gruppe ist. Hingegen SL 2 (R) ist nicht einfach zusammenhängend,
da π 1 (SL 2 (R), Id) = Z ist. Die universelle Überlagerung der SL 2 (R) ist daher
eine Erweiterung von SL 2 (R) mit Z (man kann sich das bis auf Homöomorphismus als
die Überlagerung eines ausgefüllten Torus durch einen ausgefüllten Zylinder vorstellen;
mit der Iwasawa-Zerlegung lässt sich diese Anschauung präzisieren). Diese ist eine
zentrale Erweiterung, da Z abelsch ist.
Wir werden in dieser Arbeit mit G stets eine lineare algebraische Gruppe bezeichnen.
Die auftretenden algebraischen Gruppen sollen stets zusammenhängend sein.
Wir bezeichnen mit G a die additive algebraische Gruppe (mit G a (R) = (R, +) für
jeden Ring R) und mit G m die multiplikative algebraische Gruppe (mit G m (R) = (R × , ·)
für jeden Ring R).