Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5.3. Simpliziale Gruppen
Ist X • nicht fibrant, so definieren wir π n (X • , ∗) := π n ( ˜X • , ∗), wobei ˜X• eine fibrante
Ersetzung von X • ist, d.h. ˜X• ist fibrant und es gibt eine schwache Äquivalenz
X • → ˜X • .
Bemerkung 5.24. Da in Modellkategorien die fibrante Ersetzung funktoriell ist und
[S n , ·] ein Hom-Funktor ist, sind auch Homotopiegruppen funktoriell.
Definition 5.25. Sei (X • , ∗) simpliziale Menge mit Basispunkt. Dann heißt X •
n-zusammenhängend, wenn π k (X • , ∗) = 0 für alle k ≤ n ist. Wir sagen auch zusammenhängend
anstelle von 0-zusammenhängend.
Lemma 5.26. Es ist π n (ΩX • , ∗) ≃ π n+1 (X • , ∗) und somit auch
π 0 (Ω n X • , ∗) ≃ π n (X • , ∗)
für X • eine simpliziale Menge mit Basispunkt ∗.
Das folgt direkt aus der Definition von π n und der Adjunktion von Suspension und
Schleifenraum in Satz 5.22.
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Definition 5.27. Sei (X • , ∗) eine fibrante punktierte simpliziale Menge. Seien α, β ∈
X 1 Simplizes. Dann heißen α und β frei homotop, wenn es eine Homotopie gibt, d.h.
einen Simplex τ ∈ X 2 mit d 0 τ = α und d 1 τ = β. Weiter heißen α und β homotop
(relativ Basispunkt), wenn es eine Homotopie τ ∈ X 2 gibt mit d 2 τ = s 0 ∗, wir notieren
dann α ≈ β.
5.3. Simpliziale Gruppen
Definition 5.28. Eine simpliziale Gruppe ist ein simpliziales Objekt in der Kategorie
der Gruppen (äquivalent ein Gruppenobjekt in der Kategorie der simplizialen
Mengen), also eine simpliziale Menge, deren Mengen von k-Simplizes jeweils eine
Gruppenstruktur tragen, sodass die Strukturabbildungen d i , s j Gruppenhomomorphismen
sind. Wir verstehen simpliziale Gruppen grundsätzlich als punktierte simpliziale
Mengen, mit der Identität als Basispunkt. Als Modellstruktur verwenden wir stets die
Kan-Modellstruktur, wie im vorigen Kapitel.
Es sei an folgendes Lemma über die Homotopietheorie simplizialer Gruppen erinnert:
Lemma 5.29 (Moore). Simpliziale Gruppen sind fibrant (in der Kan-Modellstruktur).
Dies ist [GJ99, Lemma I.3.4].
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Korollar 5.30. Die 0-te Homotopiegruppe einer simplizialen Gruppe G • mit neutralem
Element und Basispunkt id lässt sich ausrechnen über Punkte, d.h. X 0 , modulo Wege,
d.h. X 1 :
{g ∈ G 0 }
π 0 (G • , id) =
{d 0 α ∼ d 1 α | α ∈ G 1 } . 69