Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

4.3. Matsumotos Beweis
Der Beweis von (S3) erfordert mehrere Zwischenschritte.
Behauptung (a). c α (t, −t −1 ) = 1 für alle t ∈ k × .
Beweis. Wir rechnen nach:
c(t, −t −1 )
(Definition c(t, −t −1 ))
(Definition ˜h α )
(Kürzen)
(nach Lemma 4.13 (a))
(Einsetzen)
(nach Lemma 4.13 (g))
(Kürzen)
=˜h α (t)˜h α (−t −1 )˜h α (−1) −1
= ˜w α (t) ˜w α (−1) ˜w α (−t −1 ) ˜w α (−1) ˜w α (−1) −2
= ˜w α (t) ˜w α (−1) ˜w α (−t −1 ) ˜w α (−1) −1
= ˜w α (t) ˜w σα(α)(η(−1) −αα∗ (−t −1 ))
= ˜w α (t) ˜w −α (t −1 )
= ˜w α (t) ˜w α (−t)
= ˜w α (t) ˜w α (t) −1 = Id .
Behauptung (b). c(s, t) = c(t, −s −1 t −1 ) für alle s, t ∈ k × .
Beweis. Wieder rechnen wir nach:
(nach a)
(S1)
(nach a)
c(s, t)
=c(s, t)c(st, −(st) −1 )
=c(s, −s −1 )c(t, −s −1 t −1 )
=c(t, −s −1 t −1 ).
Behauptung (c). c(s, t) = c(−s −1 t −1 , s).
Beweis. Folgt direkt durch zweimaliges Anwenden von (b).
Sei nun ˜g = ˜x α (u) ˜w α (1)˜x α (v) mit uv(1 − uv) ≠ 0.
Behauptung (d). ˜ν( ˜w α (−1)˜g ˜w α (−1)) = ˜h α ((u − v −1 ) −1 )˜h α (v −1 ) ˜w α (1).
Beweis.
(Definition ˜g)
(nach Lemma 4.13 h)
(Definition ˜w α (v −1 ))
(˜x α Homomorphismus)
˜w α (−1)˜g ˜w α (−1)
= ˜w α (−1)˜x α (u) ˜w α (1)˜x α (v) ˜w α (−1)
= ˜w α (−1)˜x α (u)˜x −α (−v)
= ˜w α (−1)˜x α (u)˜x α (−v −1 ) ˜w α (v −1 )˜x α (−v −1 )
= ˜w α (−1)˜x α (u − v −1 ) ˜w α (v −1 )˜x α (−v −1 ).
Nach Lemma 4.14 und σ α (α) = −α /∈ Φ + sowie u − v −1 ≠ 0 wissen wir
˜ν( ˜w α (−1)˜g ˜w α (−1))
= ˜ν( ˜w α (−1)˜x α (u − v −1 ) ˜w α (v −1 )˜x α (−v −1 ))
=˜h α ((u − v −1 ) −1 ) ˜w α (v −1 ).
Behauptung (e). ˜ν( ˜w α (−1)˜g ˜w α (−1)) = ˜h α (u −1 )˜h α ((v − u −1 ) −1 ) ˜w α (1).
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