Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5. Abstrakte Homotopietheorie
die geometrische Realisierung von X • (bezüglich |∆ • |).
Bemerkung 5.19. Diese Konstruktion liefert zu jeder simplizialen Menge X • einen CW-
Komplex |X • |, vergleiche [Hir03, Example 16.3.5, S.324]. Umgekehrt kann man jedem
topologischen Raum Y seine singuläre Auflösung Sing(Y ) = Hom(|∆ n |, Y ) zuordnen,
eine simpliziale Menge, die z.B. bei der Konstruktion der singulären (Ko)Homologie
eines topologischen Raums Verwendung findet. Diese Konstruktionen sind funktoriell
und zueinander adjungiert. Wählt man auf CW-Komplexen die sogenannte Serre-
Modellstruktur, so ist die Homotopietheorie von CW-Komplexen genau die selbe wie
die von simplizialen Mengen mit der Kan-Modellstruktur. Um das zu präzisieren,
benötigt man den Begriff der Quillen-Äquivalenz wie in [Hir03, Definition 8.5.20, S.
157]. Wir werden darauf allerdings nicht näher eingehen.
Definition 5.20. Ein Morphismus simplizialer Mengen heißt schwache Äquivalenz,
wenn seine geometrische Realisierung eine schwache Äquivalenz ist (d.h. Isomorphismen
auf Homotopiegruppen induziert; dann sogar, nach einem Satz von Whitehead, eine
Homotopieäquivalenz). Ein Morphismus simplizialer Mengen heißt Faserung, wenn
er die linke Liftungseigenschaft bezüglich aller Abbildungen Λ n k ↩→ ∆n hat. Ein
Morphismus simplizialer Mengen heißt Kofaserung, wenn er bezüglich aller schwacher
Äquivalenzen, die Faserungen sind, die rechte Liftungseigenschaft hat. Die so definierte
Modellstruktur heißt Kan-Modellstruktur.
Das ist [Hir03, Definition 7.10.8, S. 135]. Eigentlich ist es aber ein wichtiger Satz,
dass dadurch tatsächlich eine Modellstruktur definiert ist - hierzu muss man vor allem
funktorielle fibrante und kofibrante Ersetzungen konstruieren. Wir werden diesen Satz
hier lediglich verwenden und verweisen dazu abermals auf [Hir03].
Definition 5.21. Wir schreiben für die Morphismen zwischen simplizialen Objekten
X • , Y • in der Homotopiekategorie auch Ho(X • , Y • ) und für punktierte simpliziale
Objekte (X • , ∗), (Y • , ∗) notieren wir die Morphismen in der punktierten Homotopiekategorie
mit [X • , Y • ].
Satz 5.22. Suspension und Schleifenraum induzieren Funktoren auf der Homotopiekategorie
punktierter simplizialer Mengen sodass für fibrantes X • und kofibrantes Y •
gilt:
[ΣX • , Y • ] ≃ [X • , ΩY • ].
Die Aussage folgt aus Ho(X • × ∆ 1 , Y • ) ≃ Ho(X • , P Y • ), was wiederum aus der
elementaren Adjunktion
Hom(X • × Z, Y • ) ≃ Hom(X • , Hom(Z, Y • ))
für Mengen folgt.
♦
Definition 5.23. Sei X • eine simpliziale Menge mit Basispunkt ∗. Wenn X • fibrant ist,
(man sagt auch, X • ist ein Kan-Komplex), so definieren wir die n-te Homotopiegruppe
als
π n (X • , ∗) := [S n , X • ].
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