Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6.4. Whiteheads Lemma
Λ n k
St • (Φ, k)
∆ n G • (Φ, k)
einen beliebigen Lift von ∆ n → G • (Φ, k) nach St • (Φ, k) mit Hilfe von Proposition 6.15,
dieser ist eindeutig bis auf Multiplikation mit K 2 (Φ, k). Da K 2 (Φ, k) diskret in St • (Φ, k)
liegt, unterscheidet sich der beliebige Lift von dem auf Λ n k vorgegebenen auch nur um
einen multiplikativen K 2 (Φ, k)-Faktor. Damit lässt sich ein Lift wählen, der mit dem
vorgegebenen übereinstimmt.
Lemma 6.24. Wenn Φ ein Wurzelsystem und k ein Körper mit
(Regularität)
K 2 (Φ, k[t]) ≃ K 2 (Φ, k),
ist, so ist die Fundamentalgruppe der singulären Ersetzung der Steinberggruppe trivial,
d.h.
π 1 (St • (Φ, k), Id) = 0,
damit ist St • (Φ, k) ↠ G • (Φ, k) die universelle Überlagerung von G • (Φ, k).
Beweis. Es gibt zu der simplizialen Gruppe G • eine universelle simpliziale Überlagerung
˜G • . Diese trägt eine universelle Gruppenstruktur, sodass die Überlagerungsabbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist (induziert von G • ) und damit ist sie eine
zentrale Erweiterung von G • . Damit faktorisiert die universelle zentrale Erweiterung
St • ↠ G • (per definitionem) als
St • ↠ ˜G • ↠ G •
und auf der Fundamentalgruppe liefert dies
π 1 (St • , Id) → π 1 (˜G • , Id) ↩→ π 1 (G • , Id)
jedoch ist π 1 (˜G • , Id) = 0, also auch das Bild von π 1 (St • , Id) in π 1 (G • , Id). Der Ausschnitt
aus der Fasersequenz
Ω K 2 (Φ, k[∆ • ]) → Ω St • → Ω G •
liefert unter π 0 wegen der Regularitätsannahme an K 2 eine exakte Sequenz
0 → π 1 (St • , Id) → π 1 (G • , Id)
also ist π 1 (St • , Id) auch injektiv in π 1 (G • , Id), damit isomorph zu ihrem Bild, der
trivialen Untergruppe.
6.4. Whiteheads Lemma
Zur Motivation betrachten wir das folgende Lemma von Whitehead.
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