Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

6. Singuläre Auflösung von Chevalley-Gruppen
Beweis. Es ist K 2 (A n+d+j , R[t 1 , . . . , t j ]) ≃ K 2 (R[t 1 , . . . , t j ]) nach dem Satz von van
der Kallen und nach dem Satz von Quillen erfüllt die rechte Seite Homotopieinvarianz,
also K 2 (R[t 1 , . . . , t j ]) ≃ K 2 (R), erneut mit dem Satz von van der Kallen K 2 (R) ≃
K 2 (A n+d+j , R) erhalten wir insgesamt
K 2 (A n+d+j , R[t 1 , . . . , t j ]) ≃ K 2 (A n+d+j , R).
Korollar 6.20. Ist R ein lokaler Ring, so hat K 2 (A n+j , R) für alle n ≥ 3 Homotopieinvarianz
in j Variablen. Insbesondere erfüllt K 2 (A n , R) für n ≥ 4 Homotopieinvarianz
in einer Variablen.
Beweis. Für R lokal ist d = dim MaxSpec(R) = 0. Körper sind lokale Ringe.
Bemerkung 6.21. Für einen Körper k und n, i ∈ N mit n ≥ 3 ist
K 2 (A n , k[t 1 , . . . , t i ]) ≃ K 2 (A n , k) ≃ K M 2 (k)
äquivalent dazu, dass K 2 (A n , k[∆ • ]) simplizial diskret ist.
Für gewisse andere (klassische) Wurzelsysteme als A n lässt sich mit [Hor05, Corollary
1.12, S.7] zeigen, dass auch diese stabil Homotopieinvarianz erfüllen (mit einem
ähnlichen Argument wie im Beweis des Satzes von Quillen). Um eine präzise Aussage
über den Rang zu machen, ab dem Homotopieinvarianz erfüllt ist, muss man allerdings
noch mehr arbeiten, was wir an dieser Stelle nicht tun können. Daher werden wir für
den Rest der Arbeit eine sinnvolle Annahme machen:
Vermutung 6.22 (Wendt). Für einen Körper k und Φ ein Wurzelsystem von Rang
n ≥ 3 erfüllt K 2 (Φ, k) Homotopieinvarianz in beliebig vielen Variablen. Insbesondere
ist also K 2 (Φ, k[∆ • ]) simplizial diskret, d.h.
{
π 0 (K 2 (Φ, k[∆ • K Sp
2 (k), Φ = C n
])) = K 2 (Φ, k) ≃
K M 2 (k), sonst.
Dabei haben wir die ≃ der Vermutungen bereits bewiesen, denn dies ist der Satz
von Matsumoto. Wir werden diese Vermutung im Folgenden mehrmals verwenden,
dann allerdings nochmals gesondert darauf hinweisen. Die unter dieser Bedingung
bewiesenen Sätze sind somit ohne Bedingung nur bewiesen für A n mit n ≥ 4.
Proposition 6.23. Erfüllt K 2 (Φ, k) Homotopieinvarianz in beliebig vielen Variablen,
so ist die Abbildung
St • (Φ, k) ↠ G(Φ, k)
eine simpliziale Überlagerung von simplizialen Gruppen und damit insbesondere eine
zentrale Erweiterung mit dem simplizial diskreten Kern K 2 (Φ, k).
Beweis. Nach Definition 5.33 ist eine simpliziale Überlagerung eine Faserung mit
diskreter Faser. Die Voraussetzung der Homotopieinvarianz ist genau die Diskretheit
des Kerns. Da es sich um einen (simplizialen) Gruppenhomomorphismus handelt, ist
die Faser über jedem Punkt isomorph zum Kern. Um nun die Liftungseigenschaft zur
Definition von Kan-Faserungen einzusehen, wählen wir im Diagramm
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